Параллельность прямых

1. Параллельность прямых

Определение. Две прямые в пространстве называются
параллельными, если они лежат в одной плоскости и не
пересекаются.
Для отношения параллельности прямых в пространстве
имеет место следующее свойство транзитивности:
Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны
между собой.

2. Упражнение 1

Всегда ли две не пересекающиеся прямые в
пространстве параллельны?
Ответ: Нет.

3. Упражнение 2

Сколько плоскостей можно провести через две
параллельные прямые?
Ответ: Одну.

4. Упражнение 3

Назовите прямые, проходящие через вершины куба
ABCDA1B1C1D1 и параллельные прямой AB.
Ответ: A1B1; CD; C1D1.

5. СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ

Определение. Две прямые в пространстве называются
скрещивающимися, если они не лежат в одной
плоскости.

6. Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Две прямые
Лежат в одной плоскости
Имеют общую точку
(пересекаются)
Не лежат в одной плоскости
(скрещиваются)
Не имеют общих
точек (параллельны)

7. Признак скрещивающихся прямых

Теорема. Если одна прямая лежит в данной плоскости, а другая
прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей
первой прямой, то эти две прямые скрещиваются.
Доказательство. Пусть прямая a лежит в плоскости , а прямая
b пересекает плоскость в точке
B, не принадлежащей прямой
a. Если бы прямые a и b лежали в одной плоскости, то в этой
плоскости лежала бы и точка B. Поскольку через прямую и
точку вне этой прямой проходит единственная плоскость, то
этой плоскостью должна быть плоскость . Но тогда прямая
b
лежала бы в плоскости , что противоречит
условию.
Следовательно, прямые a и b не лежат в одной плоскости, т.е.
скрещиваются.

8. Упражнение 1

Всегда ли две не пересекающиеся прямые в
пространстве скрещиваются?
Ответ: Нет.

9. Упражнение 2

Назовите прямые, проходящие через вершины куба A…D1 и
скрещивающиеся с прямой AB.
Ответ: A1D1; B1C1; DD1; CC1.

10. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Определение. Прямая называется параллельной
плоскости, если она не имеет с ней ни одной общей
точки.

11. Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна
некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то
прямая параллельна самой плоскости.

12. Взаимное расположение прямой и плоскости

Прямая и плоскость
Имеют общие точки
Имеют одну общую точку
(пересекаются)
Не имеют общих точек
(параллельны)
Имеют более одной общей точки
(прямая лежит в плоскости)