Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 2. Геометрическая вероятность

1.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА
ЛЕКЦИЯ 2
Белоусова Вероника Игоревна
к.ф.-м.н., доцент

2.

Геометрические вероятности
Теорема сложения вероятностей
Противоположные события
Условные вероятности
Теорема умножения вероятностей
Независимые события
Вероятность появления хотя бы одного события

3.

Список рекомендованной литературы:
Вентцель Е.С. Теория
вероятностей.
Гнеденко Б.В. Курс теории
вероятностей.
Гмурман В.Е. Руководство
к решению задач по
теории вероятностей и
математической
статистике.
Гмурман В.Е. Теория
вероятностей и
математическая
статистика.
Письменный Д.Т.
Конспект лекций
по теории вероятностей,
математической
статистике и случайным
процессам.

4.

Теория вероятностей и математическая статистика (Белоусова Вероника
Игоревна)
https://elearn.urfu.ru/course/view.php?id=6367

5.

Геометрическая вероятность

6.

7.

8.

9.

Пример 1. Найти вероятность того, что точка, наудачу
брошенная в круг, не попадет в правильный шестиугольник,
вписанный в него.

10.

Пример 2. На отрезок АВ случайным образом брошены три
точки: С, D и М. Найти вероятность того, что из отрезков АС,
АD и АМ можно построить треугольник.

11.

Теорема сложения вероятностей
р ( А В)
т А тВ т АВ т А тВ т АВ
р( А) р( В) р( АВ),
п
п
п
п

12.

Теорема сложения вероятностей
Следствие 1.
Теорему сложения можно распространить на случай суммы любого числа
событий. Например, для суммы трех событий А, В и С:
Р(А + В + С) = р(А) + р(В) + р(С) – р(АВ) – р(АС) – р(ВС) + р(АВС)и т.д.

13.

Теорема сложения вероятностей

14.

Противоположные события
Определение. Противоположными событиями называют
два несовместных события, образующих полную группу.
Если одно из них назвать А, то второе принято обозначать Ᾱ.
Замечание. Таким образом, Ᾱ, заключается в том, что
событие А не произошло.

15.

Противоположные события

16.

Противоположные события

17.

Пример. Из урны, содержащей 2 белых и 6 черных шаров, случайным
образом извлекаются 5 шаров. Найти вероятность того, что вынуты
шары разных цветов.

18.

Теорема умножения вероятностей

19.

Теорема умножения вероятностей
Пример:
1) Пусть событие А – извлечение из колоды в 32 карты туза, а событие В
– то, что и вторая вынутая из колоды карта окажется тузом. Тогда, если
после первого раза карта была возвращена в колоду, то вероятность
вынуть вторично туз не меняется:

20.

Теорема умножения вероятностей
р( В / А)
т АВ т АВ п
р( АВ) : р( А),
тА
п тА

21.

Теорема умножения вероятностей
Пример.
Для поражения цели необходимо попасть в нее дважды.
Вероятность первого попадания равна 0,2, затем она не
меняется при промахах, но после первого попадания
увеличивается вдвое. Найти вероятность того, что цель будет
поражена первыми двумя выстрелами.

22.

Теорема умножения вероятностей

23.

Независимые события
Определение. Событие В называется независимым от
события А, если появление события А не изменяет
вероятности В, то есть р (В/А) = р (В).
Замечание. Если событие В не зависит от А, то и А не
зависит от В. Действительно, из (2.7) следует при этом, что р
(А) · р (В) = р (В) · р (А/В), откуда р (А/В) = р (А). Значит,
свойство независимости событий взаимно.

24.

Независимые события
Теорема умножения для независимых событий имеет вид:
р (АВ) = р (А) · р (В) ,
то есть вероятность произведения независимых событий
равна произведению их вероятностей.
Замечание: При решении задач теоремы сложения и
умножения обычно применяются вместе.

25.

Независимые события
Пример. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени.
Вероятности их попадания при одном выстреле равны соответственно 0,6
и 0,7. Найти вероятности следующих событий:
• А – хотя бы одно попадание при двух выстрелах;
• В – ровно одно попадание при двух выстрелах;
• С – два попадания;
• D – ни одного попадания.

26.

Вероятность появления хотя бы одного
события

27.

Вероятность появления хотя бы одного
события
Пример. Сколько нужно произвести бросков монеты, чтобы
с вероятностью не менее 0,9 выпал хотя бы один герб?