Комплексные числа

1. Комплексные числа

к.э.н., доцент кафедры
информационных
технологий ЮРИУ
РАНХиГС
Прокопенко М. В.

2. Содержание

Понятие комплексного числа
Операции над комплексными
числами в алгебраической форме
Тригонометрическая и
показательная формы
Возведение комплексных чисел в
степень

3. Понятие комплексного числа

Z=a+bi – общая форма комплексного
числа
а, b – действительные числа
i – мнимая единица

4. Понятие комплексного числа

а+bi - единое число!

5. Понятие комплексного числа

Джероламо Кардано
(1501-1576)
Поставил вопрос о
существовании
комплексных чисел

6. Понятие комплексного числа

Иоганн Карл
Фридрих
Гаусс
(1777-1855)
Ввел понятие
«комплексное
число»

7. Понятие комплексного числа

Уильям Роуэн
Гамильтон
(1805-1865)
Предложил
стандартную
модель
комплексных чисел

8. Понятие комплексного числа

Комплексная плоскость

9. Понятие комплексного числа

Отобразим число Z=4+3i

10. Понятие комплексного числа

Множество действительных чисел R
представляет собой подмножество
множества комплексных чисел С
R C

11. Понятие комплексного числа

Три формы комплексного числа:
алгебраическая;
тригонометрическая;
показательная.

12. Операции над комплексными числами

Операции над комплексными
числами в алгебраической форме:
сложение;
вычитание;
умножение;
деление.

13. Операции над комплексными числами

Сложение:
Действительные и мнимые числа
складываются отдельно

14. Операции над комплексными числами

Вычитание:
Действительные и мнимые числа
вычитаются отдельно

15. Операции над комплексными числами

Умножение:
Умножение осуществляется по правилам
умножения многочленов;
Квадрат мнимой единицы равен -1
i 1
2

16. Операции над комплексными числами

Умножение:

17. Операции над комплексными числами

Деление:
Умножение числителя и
знаменателя на сопряженное
знаменателю выражение

18. Операции над комплексными числами

Перевод в алгебраическую форму:

19. Тригонометрическая и показательная формы

Любое, кроме нуля, комплексное
число Z=a=bi можно записать в
тригонометрической форме:
Z Z Cos iSin

20. Тригонометрическая и показательная формы

Z – модуль комплексного числа;
Z a 2 b2
– аргумент комплексного числа.
b
arg Z arctg
a

21. Тригонометрическая и показательная формы

Z 4 3i

22. Тригонометрическая и показательная формы

Формулы аргумента:
a > 0 (I и IV четверти)
b
arg Z arctg
a
a < 0, b > 0 (II четверть)
b
arg Z arctg
a
b
a < 0, b < 0 (III четверть) arg Z arctg
a

23. Тригонометрическая и показательная формы

Комплексное число в показательной
форме имеет вид:
Z Ze
i

24. Тригонометрическая и показательная формы

Z 1 3i

25. Тригонометрическая и показательная формы

Умножение комплексных чисел в
тригонометрической и
показательной форме:
Модули перемножаем
Аргументы складываем

26. Тригонометрическая и показательная формы

27. Тригонометрическая и показательная формы

Деление в тригонометрической и
показательной форме:
Модули делим
Аргументы вычитаем

28. Возведение комплексных чисел в степень

Формула Муавра:
Z Z Cos( n) iSin ( n)
n
n
Z Z e
n
n
i n

29. Возведение комплексных чисел в степень

Абрахам де Муавр
(1667-1754)

30. Возведение комплексных чисел в степень

31. Возведение комплексных чисел в степень

При возведении в степень
комплексного числа в
алгебраической форме необходимо
помнить, что i 2 1,
i 3 i ,
i 1
.........
4

32. Возведение в степень комплексного числа

n
Z
n
2 k
2 k
Z Cos
iSin
n
n
n
Z n Ze
2 k
n
k 0,1,..., (n 1).

33. Литература

Акимов В.П. Математика для политологов. 2-е изд.,
испр. и доп. – М.: МГИМО, 2011.
Грес П.В. Математика для бакалавров.
Универсальный курс для студентов гуманитарных
направлений [Электронный ресурс]: учебное
пособие/ Грес П.В.— Электрон. текстовые
данные.— М.: Логос, 2015.— 288 c.— Режим
доступа: http://www.iprbookshop.ru/70695.html.—
ЭБС «IPRbooks»
Ильин В. А. Высшая математика [Текст] : учеб.
для вузов: Рек. Мин. обр. / В. А. Ильин, А. В.
Куркина. - 3-е изд., перераб. и доп. - М. :
Проспект, 2015. - 608 с.

34.

Спасибо за внимание!