Mühazi̇rə 1. Kompleks ədədlər və onlar üzərində əməllər

1.

MÜHAZİRƏ 1
KOMPLEKS ƏDƏDLƏR VƏ
ONLAR ÜZƏRINDƏ ƏMƏLLƏR

2.

Fərz edək ki, x və y ixtiyari həqiqi ədədlərdir. Bu ədədlər vasitəsilə təyin
olunan
z x iy
(1)
şəklində ifadəyə kompleks ədəd deuilir; burada i xəyali vahid adlanan riyazi
işarədir. i xəyali vahidi i 2 1 bərabərliyi ilə təyin olunur.
x və y həqiqi ədədlərinə z kompleks ədədinin uyğun olaraq həqiqi və
xəyali hissəsi deyilir və simvolik olaraq x Re z və y Im z ilə işarə olunur.
x iy kompleks ədədi z x iy kompleks ədədinə qoşma olan
kompleks ədəd adlanır və z x iy kimi işarə olunur.
Qeyd edək ki, i 2 1 olmasından çıxır ki, i-nin istənilən tam üstlü
qüvvəti, -1,1,i,-i ədədlərindən birini verir:
i 2 1, i 3 i 2 i i, i 4 (i 2 ) 2 ( 1) 2 1, i 5 i 4 i i və s.

3.

Kompleks ədədlər üzərində əməllər
Həqiqi və xəyali hissələri uyğun olaraq bərabər olan z1 x1 iy1 və
z 2 x2 iy 2 kompleks ədədlərini bərabər hesab edirlər:
x1 iy1 x2 iy 2
(2)
Buradan aydındır ki, (2) bərabərliyi həqiqi ədədlərin iki x1 x2 və
y1 y 2 bərabərlikləri ilə eyni güclüdür.
Böyük (>) və kiçik (<) anlayışlarının kompleks ədədlər üçün mənası yoxdur.
Verilmiş z1 x1 iy1 və z 2 x2 iy 2 kompleks ədədlərinin cəmi və hasili
aşağıdakı qayda ilə təyin edilir:
1.
z1 z 2 x1 x2 i( y1 y2 ) ;
z1 z 2 ( x1 iy1 ) ( x 2 iy 2 )
x1 x 2 ix1 y 2 ix 2 y1 i 2 y1 y 2 ( x1 x 2 y1 y 2 ) i ( x1 y 2 x 2 y1 ).
Cəbri şəkildə verilmiş z1 x1 iy1 , z2 x2 iy 2 ədədlərinin nisbətini
belə tapmaq olar:
z1
x iy1
( x iy1 )( x2 iy 2 )
x x y1 y2 i ( x1 y2 x2 y1 )
1
1
1 22
.
z2
x2 iy 2 ( x2 iy 2 )( x2 iy 2 )
x2 y22
x22 y22

4.

Kompleks ədədlərin həndəsi göstərilişi
Hər bir z x iy kompleks ədədini həndəsi olaraq müstəvi üzərindəki
( x, y ) nöqtəsi ilə göstərirlər. Kompleks ədədləri həndəsi olaraq göstərmək üçün
işlədilən müstəviyə kompleks müstəvi deyilir. Kompleks müstəvi üzərində
absis oxuna həqiqi ox, ordinat oxuna isə xəyali ox deyilir.
Kompleks ədədin arqumenti və modulu. Komplek müstəvi üzərində
z x iy kompleks ədədini həndəsi göstərən ( x, y )
у
nöqtəsinin polyar koordinatları ( , ) olsun. Onda:
x cos ,
y sin .
(3)
0
Buradan və kəmiyyətlərini təyin etmək üçün
cos
х
x2 y2
x
r
y
sin
r
x y
2
x y
,
(5)
y
2
х
(4)
x
2
у
2
.

5.

münasibətlərini alarıq. (5) bərabərlikləri vasitəsi ilə təyin olunan -yə
z x iy kompleks ədədinin arqumenti deyilir və Argz Arg(x iy)
kimi işarə olunur. Buradan aydın görünür ki, Argz kəmiyyəti çoxqiymətlidir
və 2k (k tam ədəddir) həddinə qədər dəqiqliklə təyin olunur. Buna görə də
çox vaxt Argz -in baş üiymətini ayırmaq lazım gəlir. Argz -in
Argz
(6)
bərabərsizliyini ödəyən qiymətinə onun baş qiyməti deyilir və arg z ilə içarə
olunur və aşağıdakı düsturla hesablanır:
y
arctg
,
x 0,
x
arctg y ,
x 0, y 0,
x
y
əgər
arg z arctg ,
x
x 0, y 0,
2 ,
,
x 0,
y 0,
2
x 0, y 0,

6.

(4) münasibəti ilə təyin olunan 0 ədədi z kompleks ədədinin
modulu adlanır və
z x iy
ilə göstərilir.
(3) münasibətlərinə əsasən z x iy ədədini
z (cos i sin )
(7)
şəklində yazmaq olar (7) ifadəsinə z kompleks ədədinin triqonometrik şəkli
deyilir.
Eyler düsturu.Kompleks ədədlər üçün Eyler düsturu
e i cos i sin
(8)
münasibətinə deyilir. (8) düsturundan istifadə etsək (7) münasibətini
z e i
(9)
z z e iArgz
(10)
və yaxud
şəklində yaza bilərik.

7.

(9) ifadəsi z kompleks ədədinin üstlü şəkli adlanır.
z e i olduqda z e i olur. Deməli, qarşılıqlı qoşma kompleks
ədədlər üçün z z və arg z arg z (arg z ) münasibətləri ödənir.
Eylerin (8) düsturundan
e i cos i sin
(11)
Münasibətini də almaq olar.
Tapşırıq: (8) və (11) bərabərliklərini tərəf-tərəfə toplayıb, çıxmaqla
cos və sin üçün ifadələr alaraq, onlar vasitəsilə sh , ch ifadələrini
almaqla cos i ch , sin i ish olduğun göstərməli.

8.

Modulun və Arqumentin Xassələri
Verilmiş z1 və z 2 KƏ-nin cəmini və fərqini həndəsi olaraq məlum
paraleloqram qaydası ilə tapırlar.Asanlıqla görmək olar ki, z1 z 2 ifadəsi z1
və z 2 nöqtələri arasındakı məsafəyə bərabərdir. Kompleks müstəvi üzərində
təpə nöqtələri 0, z1 , z 2 nöqtələrində olan üçbucaq götürək. Bu üçbucağın
tərəflərinin uzunluğu z1 ,
z2 ,
z1 z 2
olar. Məlumdur ki, üçbucağın bir
tərəfinin uzunluğu qalan iki tərəfinin uzunluqları cəmindən böyük ola bilməz:
z1 z 2 z1 z 2
buradan
z1 z 2 ( z1 z 2 )
z1 z 2 z1 z 2 münasibətini alarıq.
və
z 2 z1 ( z 2 z1 )
(1)
yazaraq

9.

z1 və z 2 KƏ-ni üstlü şəkildə götürək:
z1 1e i 1 ,
z 2 2 e i 2 .
Aydındır ki,
z1 z 2 1 2 e i ( 1 2 ) .
Deməli
z1 z 2 1 2 z1 z 2
(2)
və
Arg ( z1 z 2 ) ( 1 2 ) Argz1 Argz 2
(3)
münasibətləri doğrudur.
z1 z 2 z n z olduqda
zn z ,
(4)
Argz n nArgz.
(5)
n
Xüsusi halda, z cos i sin olduqda (4) və (5) düsturlarına əsasən
(cos i sin ) n cos n i sin n .
(6) düsturuna Muavr düsturu deyilir.
(6)

10.

Tapşırıq: (2) və (3) bərabərliklərində z1 əvəzinə
z1
z2
nisbətini ( z 2 0)
götürməklə KƏ-in nisbətinin modulu və arqumenti haqqında düsturları yazın.
KƏ-dən kökalma
n z münasibəti ödənildikdə re i ədədinə z e i ədədinin n -ci
dərəcədən kökü deyilir və n z ilə işarə olunur. n z münasibətindən
r n e in e i alarıq.Buradan:
r n və n 2k
Onda KƏ-dən n -ci dərəcədən kökalma düsturu belə yazılar:
n
(cos i sin ) n (cos
Misal.
2k
n
i sin
i kökünün qiymətlərini tapın.
2k
n
) (k 0, 1, , n 1)

11.

SON