Дроби. Дробові вирази. Раціональні вирази. Допустимі значення змінних

1.

Дроби.
Дробові вирази.
Раціональні вирази.
Допустимі значення змінних

2.

Завдання
Який із виразів:
x y x y
x , x 2xy,
,
2
x
2
зайвий? Чому?

3.

Виконання усних вправ
1. Знайдіть значення виразів:
3
1 ;
7
1
2;
9
1
0,2;
5
75
;
1,5
27 : 81;
1
6 ;
3
– 3, 7 – 0, 4;
2
1
1 .
2
2. Обчисліть:
1 1
1 1
1 1
1 1
3
;
;
;
: ; 8 ;
2 3
2 3
3 2
3 2
4
4
2
1
12 : ; 19 0,1; 7 : 0,1;
0,1;
: 0, 01.
7
3
4

4.

3. При якому значенні змінної значення виразу
дорівнює нулю:
x 1; y 3; a ; x 4; a a 1 ; x x 3 ;
2
2
1 1 1 1 1 1 1 1
3
;
;
; : ; 8 ;
2 3 2 3 3 2 3 2
4
4
2
1
12 : ; 19 0,1; 7 : 0,1;
0,1;
: 0, 01.
7
3
4
4. Спростіть вирази:
8
y
x 5 x; 4 ; 5 x 3 ; 2,5+ y 0,5 .
y

5.

5. Подайте вирази у вигляді добутку:
a b ; xy x ; a b ab;
2
2
2
2
x 3 y 3 ; c 2 2cd d 2 ; a 3 b3 .
6. Перетворіть вирази в многочлен стандартного
вигляду:
a a 3 ; c x y a ;
x 1 x 3 ;
2
2
2
a 4 4 a ; x 2 ; a b a ab b .

6.

Конспект 1
Дробові вирази. Раціональні вирази
1. Цілі вирази складаються із чисел, букв і степенів та дій
додавання, віднiмання, множення, піднесення до степеня та
ділення крім ділення на змінну.
Приклад.
a b; 2a ; 3x x y ; b; 5 — цілі вирази.
3
3
!Будь-який цілий вираз можна подати у вигляді многочлена.
2. Дробові вирази обов’язково містять дію ділення на вираз зі
змінною (змінними), а також можуть містити всі дії, які є в
цілому виразі.
a a
x y
;
1; 2
; 5x : y — дробові вирази.
Приклад.
2
b 2b
x y

7.

Конспект 1
3. Цілі вирази разом з дробовими виразами
називають раціональними виразами.
A
4. Запис , де A і B — деякі буквені або числові
B
вирази, називають дробом.
A
, де A і B — многочлени називають
Дріб
B
раціональним дробом.
5
a
x y
;
; 2
— раціональні дроби.
Приклад.
2
a 1 b 7 x xy y

8.

Конспект 1
5. Область допустимих значень змінних у виразі (ОДЗ) — усі
такі значення змінних, при яких вираз має зміст.
A
!Для раціонального дробу
допустимі значення змінної
B
визначаються з умови B≠0 (знаменник не повинен дорівнювати 0).
Приклад. Для виразу
5
допустимими є всі значення a
2
a 4
крім тих, при яких a 2 4 = 0, тобто a 2 a 2 = 0,
тобто a = 2 або a =−2.
5
Отже, ОДЗ змінної a у виразі 2
можна записати так:
a 4
ОДЗ: a ≠ ± 2 (або a ≠ 2 і a ≠ 2, або всі значення a,
крім a = 2 та a=−2).

9.

Конспект 1
A дорівнює 0, тоді і тільки тоді, коли
6. Раціональний дріб
B
A = 0,
A = 0 і B ≠ 0 (або
).
B 0
A
Щоб знайти значення змінної, при якому раціональний дріб
B
дорівнює 0, треба:
а) знайти ОДЗ дробу (з умови B ≠ 0);
б) прирівняти чисельник до нуля (A = 0) і знайти
відповідні значення змінних;
в) із значень, здобутих в п. б) вилучити ті, що не війшли
до ОДЗ (див. п. а.).

10.

Конспект 1
Приклад.
x 2 16
дорівнює нулю?
При якому значенні змінної дріб
x 4
Розв’язання
1) ОДЗ: x 4 0; x 4;
2) x2 16 = 0; x 4 x 4 = 0; x = 4 або x = 4.
3) x = 4 не входить до ОДЗ, тому при x = − 4 дріб
x 16
дорівнює нулю
x 4
2

11.

Виконання усних вправ
1. Які з виразів є цілими; дробовими?
Які з виразів є дробами; раціональними дробами?
b c
a
2
1
2
2
3
a
;
a
;
;
a
b;
а)
б)
в)
г)
2
a
b c
3
mn n
3
.
; е)
д)
3
x x 1
5
2. Знайдіть значення виразу при
x
x = 5, x = −5, x = −0,1.

12.

3. При яких значеннях змінної вираз не має змісту?
Назвіть допустимі значення змінної у виразі:
5
а) ;
x
5 x
5
5x
; в)
; г) 2 .
б)
x 1
x x 1
x +1
4. Які з наведених рівностей є тотожностями?
m 2m
3m
m 2m
2m
=
; б)
=
;
а)
m 1
m 1
m 1
m 1
m
m
2
.
в)
m m 1 m m

13.

Виконання письмових вправ
1. Серед поданих виразів зі змінними вибрати: цілі,
дробові вирази, раціональні дроби.
1) Які з виразів є цілими; дробовими? Які з виразів є дробами;
раціональними дробами?
a b
x
4
xy x
1 3
5
2
2
b
a
;
.
; е)
а) a b ; б) 3 x ; в) x x ; г) 2
д)
5
x y 1
2) Які з виразів
1 2
a b;
3
m 3
8
a 2 2ab
; 2 2;
;
x y 4xy;
m 3 x +y
12
2
є цілими, які — дробовими?
c 3
2
2
c

14.

3) Із раціональних виразів
a 12
b 1 2 1 2
a
7x 2xy; ;
; a a b ; m n ;
8;
9 b
3a 4
3
a 3
2
випишіть ті, які є:
а) цілими виразами;
б) дробовими виразами.
4) Складіть дріб:
а) чисельник якого є добутком змінних x і y,
а знаменник — сумою;
б) чисельник якого є різницею змінних a і b,
а знаменник — добутком.

15.

2. Знаходження значень дробового виразу при
даних значеннях змінних.
1) Знайдіть значення виразу:
2ab
x2
при a = 4; b = 2; a = − 4
при x = 0; x = 5; x = −3 б)
a)
a b
x 5
a 8
b 2 +6
при a = − 2 г)
при b = 3
в)
2a 5
2b
8
1
x
при
x ;
д)
x 1
2
y 3
y при y = 1,5.
е)
y
y 3
a b 1
при:
2) Чому дорівнює значення дробу
2
a 2 +1
1
2
а) a 3, b 1; б) a 1 , b 0,5?

16. 4. Складання виразів зі змінними за умовою задачі. Автомобіль проїхав 195 км за t год. Запишіть у вигляді виразу швидкість

3. Знаходження допустимих значень змінних у виразі.
1) Укажіть допустимі значення змінної у виразі:
а)
6x 2 +1
;
x 2
б)
6a 1
;
a a 3
в)
b
1
;
b 1 b
г)
11x
.
2
x +2
2) Знайдіть допустимі значення змінної у виразі:
7b
6m
m
3k
+
.
; в) 2
а) 2 b; б)
2
4b 1
m +2m m 1
4 k 2
4. Складання виразів зі змінними за умовою задачі.
Автомобіль проїхав 195 км за t год.
Запишіть у вигляді виразу швидкість автомобіля.
Знайдіть значення цього виразу при t = 3.

17.

5. Виконання вправ на повторення: арифметичні дії
зі звичайними дробами (скорочення, порівняння,
додавання, віднімання), розкладання цілих виразів
на множники із застосуванням різних способів.
1) Перетворіть у многочлен:
а) x 10 x 10 ; б) 2a 3 2a 3 ; в) y 5b y 5b ;
г) 8x y y 8x ; д) x 7 2 ; е) b 5 2 ;
ж) a 2x ; з) ab 1 .
2
2
2) Розкладіть многочлен на множники:
а) 15ax 20ay; б) 36by 9cy; в) x2 xy;
г) a 2 +5ab; д) xy y 2 ; е) 15c 10c 2 .

18.

3) Розкладіть на множники:
а) 16 c ; б) x 25; в) a 6a 9;
2
2
2
2
3
3
x
+8
x
16;
a
8;
г)
д)
е) b +27.
6. Вставте пропущений вираз:

19.

Контрольні запитання
1) Які вирази називають цілими? Наведіть приклади.
2) Які вирази називають дробовими?
Наведіть приклади.
3) Які вирази називають раціональними?
Які з наведених раціональних виразів цілі, а які
дробові:
5x
8
a x y
2
3
3a,
, 15p q, x , a ,
?
4
x
6 x 1

20.

Домашнє завдання
1. Вивчити означення понять, розглянутих на уроці.
2. Розв’язати вправи на: класифікацію раціональних
виразів, знаходження ОДЗ виразів, обчислення
значень виразів зі змінними та числових виразів, що
містять звичайні дроби, розв’язання цілих рівнянь.