Параллельность плоскостей в пространстве

1. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ

Определение. Две плоскости в пространстве называются
параллельными, если они не имеют общих точек.

2. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве

Две плоскости
Имеют общие точки
(пересекаются по прямой)
Не имеют общих точек
(параллельны)

3. Признак параллельности двух прямых

Если две параллельные плоскости пересечены третьей
плоскостью, то линии их пересечения параллельны.
Доказательство. Пусть плоскость γ пересекает параллельные
плоскости α и β по прямым a и b соответственно. Докажем, что
прямые a и b параллельны. Действительно, они лежат в одной
плоскости - плоскости γ. Кроме этого, они лежат в
непересекающихся плоскостях, следовательно, и подавно, не
пересекаются. Значит, они параллельны.

4. Признак параллельности двух плоскостей

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости
соответственно параллельны двум прямым другой
плоскости, то эти плоскости параллельны.
Доказательство. Пусть две
пересекающиеся прямые a1, a2
плоскости α соответственно
параллельны двум прямым b1,
b2 плоскости β. Докажем, что
плоскости α и β параллельны.
Предположим противное, т.е., что плоскости α и β пересекаются, и
пусть c - линия их пересечения. По признаку параллельности
прямой и плоскости, прямая a1 параллельна плоскости β, а по
свойству параллельности прямой и плоскости, она параллельна
прямой c. Аналогично, прямая a2 также параллельна прямой c.
Таким образом, в плоскости α мы имеем две пересекающиеся
прямые, параллельные одной прямой, что невозможно.
Следовательно, плоскости α и β параллельны.

5. Упражнение 1

Верно ли утверждение: "Если прямая, лежащая в
одной плоскости, параллельна прямой, лежащей в
другой плоскости, то эти плоскости параллельны"?
Ответ: Нет.

6. Упражнение 2

Верно ли утверждение: "Если две прямые, лежащие в
одной плоскости, параллельны двум прямым,
лежащим в другой плоскости, то эти плоскости
параллельны”?
Ответ: Нет.

7. Упражнение 3

Могут ли быть параллельными две плоскости,
проходящие через непараллельные прямые?
Ответ: Да.

8. Упражнение 4

Могут ли пересекаться плоскости, параллельные
одной и той же прямой?
Ответ: Да.

9. Упражнение 5

Через каждую из двух параллельных прямых
проведена плоскость. Можно ли утверждать, что эти
плоскости параллельны?
Ответ: Нет.

10. Упражнение 6

Могут ли пересекаться плоскости, параллельные одной и
той же прямой?
Ответ: Да.

11. Упражнение 7

Могут ли быть параллельными две
проходящие через непараллельные прямые?
Ответ: Да.
плоскости,

12. Упражнение 8

Можно ли признак параллельности двух плоскостей
сформулировать следующим образом:
а) если прямая одной плоскости параллельна
прямой другой плоскости, то плоскости параллельны;
б) если две прямые одной плоскости параллельны
двум прямым другой плоскости, то плоскости
параллельны;
в) если две пересекающиеся прямые одной
плоскости параллельны другой плоскости, то плоскости
параллельны?
Ответ: а) Нет;
б) Нет;
в) да.

13. Упражнение 9

Для параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 докажите
параллельность плоскостей ABC и A1B1C1.
Доказательство: Прямые AB и AD, лежащие в
плоскости ABC, соответственно параллельны прямым
A1B1 и A1D1, лежащим в плоскости A1B1C1.
Следовательно, плоскости ABC и A1B1C1 параллельны.

14. Упражнение 10

Для параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 докажите
параллельность плоскостей AB1D1 и BDC1.
Доказательство: Прямые AB1 и AD1, лежащие в
плоскости AB1D1, соответственно параллельны прямым
DC1 и BC1, лежащим в плоскости BDC1. Следовательно,
плоскости AB1D1 и BDC1 параллельны.

15. Упражнение 11

Сколько имеется пар параллельных плоскостей,
содержащих грани параллелепипеда A…D1.
Решение: Каждая грань участвует в одной паре
параллельных плоскостей. У куба имеется 6 граней.
Следовательно, искомое число пар параллельных
граней равно 6 3.
2

16. Упражнение 12

Являются ли параллельными плоскости:
а) ABB1 и CDD1;
б) ABB1 и DEE1;
в) ABB1 и CEE1;
г) ABB1 и CFF1;
д) ABB1 и CFE1,
проходящие через вершины правильной шестиугольной
призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 ?
Ответ: а) Нет; б) да; в) нет; г) да; д) нет.