Матричный способ решения СЛАУ и метод Крамера

1.

ЛЕКЦИЯ 4
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
(СЛАУ)

2.

Матричный способ решения СЛАУ
Системой n линейных алгебраических
уравнений с n неизвестными называют
совокупность уравнений вида:
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 ,
a x a x ... a x b ,
22 2
2n n
2
21 1
............................................,
an1 x1 an 2 x2 ... an n xn bn ,
где ai j - коэффициенты системы, i 1, ..., n, j 1, ..., n,
x j - неизвестные, j 1, ..., n,
bi - свободные члены, i 1, ..., n.
Упорядоченное множество действительных чисел
{α1, α2,…, αn} называется решением СЛАУ,
если оно обращает каждое уравнение СЛАУ
в числовое равенство.

3.

Представим СЛАУ
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 ,
матрица коэффициентов
a x a x ... a x b ,
22 2
2n n
2
21 1
матрица-столбец
неизвестных
............................................,
an1 x1 an 2 x2 ... an n xn bn
матрица-столбец
в видесвободных
произведения
матриц
членов
Объясните, как
a11 a12 ... a1 n Матричная
x1
b1 получилось
равенствоэто
форма записи
b2
a21 a22 ... a2 n СЛАУ
x2
A
, X , B : A X B.
... ... ... ...
...
...
Найдите
a a
xn
n1 n 2 ... an n
bn матрицу Х
- решение СЛАУ в матричной форме
X A B
Сколько решений
1
При каких условиях решение СЛАУ
в матричной форме существует?
СЛАУ в матричной
форме существует
и почему?

4.

Пример. Решить систему уравнений матричным
способом:
3x1 x2 2 x3 13,
x1 3x2 x3 11,
4 x 2 x 3x 12.
2
3
1

5.

Решение СЛАУ по формулам
Крамера
1
Запишем равенство X A B в следующем виде
x1
A11 A21 ... An 1 b1
x2 1 A12 A22 ... An 2 b2
... A ... ... ... ... . ...
Формулы
Крамера
A
b
Чем являются
выражения
в скобках?
A
...
A
x
1
n
2
n
n
n
n
n
Тогда
1
1
(
A
b
A
b
...
A
b
),
x1 ,
Определитель, полученный
x1
11 1
21 2
n1 n
из определителя матрицы А A
заменой первого столбца 1
2
x
,
столбцом свободных членов
x2 ( A12b1 A22b2 ... An 2bn ),
2
A
...,
..................................................,
1
n
xn ( A1nb1 A2 nb2 ... Annbn ). xn .
A
A11b1 A21b2 ... An1bn
b1
a12
...
a1n
b2
a22
...
a2 n
...
...
...
...
1 , ..., A1nb1 A2 nb2 ... Annbn
b a
...решение
a
При каких условиях
СЛАУ
по формулам Крамера существует?
n
n2
nn
a11
...
a1, n 1
b1
a21
...
a2, n 1
b2
...
...
Сколько
...
...
решений
n
a
b
СЛАУa в ...матричной
форме существует
и почему?
n1
n , n 1
n