Решение уравнений и неравенств с параметрами

1.

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА НА ТЕМУ
«РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРАМИ»
Авторы:
Макарова М.А.
Меньшина С.А.
Ученицы 11-А класса МБУ «Школа №70»
Научный руководитель:
Айзятова М.М.

2.

ВВЕДЕНИЕ
В данной работе описываются основные способы решения одного из заданий ЕГЭ - задания с
параметром. Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение
методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических
сведений. Решение задач с параметрами способствуют формированию логического
мышления, помогают в приобретении навыков исследовательской деятельности,
стимулируют познавательную деятельность. Решение каждой задачи своеобразно и требует к
себе индивидуального, нестандартного подхода, поскольку не существует единого способа
решения таких задач.

3.

Объектом исследования являются различные уравнения и неравенства с параметрами.
Предмет исследования: нахождение оптимального способа их решения
Методы исследования: поиск и изучение информации, её обработка и анализ, закрепление полученных
знаний на практике
Цель нашего проекта – научиться решать уравнения и неравенства с параметром различными методами.
Основные задачи: изучение основных методов решения и применение их на практике.
Актуальность: задачи с параметром есть в заданиях ЕГЭ, а также часто встречаются на вступительных
экзаменах в ВУЗы; именно они вызывают у учащихся наибольшие затруднения, например на ЕГЭ 2020-го года
процент выполнения 17 задания составил всего лишь 2,4 %(это самое минимальное значение из всех); задачи с
параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры
учащихся. По этим причинам данный проект будет полезен любому ученику старшей школы.

4.

Новизна: Тема проекта не нова, так как само 17 задание ЕГЭ добавили достаточно давно.
Основной результат: рассмотреть уравнения и неравенства с параметром и понять как можно к ним
применить различные методы решения.
Структура работы:
1. История возникновения уравнений и неравенств с параметром
2. Основные понятия
3. Методы решения
4. Общий алгоритм решения заданий с параметрами
5. Практическая часть

5.

Основная часть
История возникновения уравнений и неравенств с параметром
Задачи на уравнения с параметром встречались уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499г. индийским
математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных
уравнений, приведенных к единой канонической форме: ax2 + bx = c, a>0
В уравнении коэффициенты, кроме параметра a, могут быть и отрицательными.
Квадратные уравнения у ал-Хорезми
В алгебраическом трактате Ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений с параметром а.
Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:
1) «Квадраты равны корням», т. е. ax2=bx
2) «Квадраты равны числу», т. е. ax2=c
3) «Корни равны числу», т. е. ax=c
4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ax2+c=bx
5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. ax2+bx=c
6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bx +c=ax2
Формулы решения квадратных уравнений по Ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г.
итальянским математиком Леонардо Фибоначчи.

6.

Основные понятия
Параметр — это переменная величина, которая в процессе решения уравнения (задачи) считают
фиксированной и относительно которой проводится анализ полученного решения.
Уравнение (неравенство) с параметрами — математическое уравнение (неравенство), внешний вид и
решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.
Решить уравнение (неравенство) с параметром означает:
Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение (неравенство) имеет решение.
Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и
параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

7.

Методы решения
1. Аналитический метод.
Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры
нахождения ответа в задачах без параметра.
2. Графический метод.
В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики
в координатной плоскости (x;y) или в плоскости (x;a).
Общий алгоритм решения заданий с параметрами:
1. Читаем условие и знакомимся с заданием
2. Определяем расположение параметра
3. Отвечаем на условие задачи

8.

ПРАКТИЧЕСКАЯ
ЧАСТЬ

9.

Пример 1

10.

11.

Пример 2

12.

13.

Пример 3

14.

15.

16.

Пример 4

17.

18.

19.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В заключении хочется отметить, что мы довольны тем результатом,
которого добились. Изучение аналитического и графического
методов решения уравнений и неравенств с параметром позволило
нам начать самостоятельно их решать. В будущем мы планируем
использовать этот материал для подготовки к Единому
Государственному Экзамену. Мы надеемся, что данный проект
поможет и другим ученикам в решении 17-го номера.

20.

СПАСИБО ЗА
ВНИМАНИЕ!