Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений

1. Тема 3

Численное решение
алгебраических и трансцендентных
уравнений.

2.

3.

4.

5. 3.1. Отделение корней нелинейного уравнения.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Рис. 3.3 Схема алгоритма отделения
корней.

14.

Root_Separation
2
Исходные данные:
Ввод
3
a – начало отрезка поиска корней
a, b, Δx
b – конец отрезка поиска корней
ya − значение функции в начале поиска
корня
Δx –очередного
шаг изменения
неизвестного
x=a
нет
ya= f(a)
x≤b
k=0
4
k − номер корня
да
5
6
x = x + Δx
7
y = f(x)
y* ya ≤ 0
нет
да
8
ya = y
9
k=k+1
Вывод
k, x – Δx, x, y
Результаты:
k− номер корня
x - Δx – начало отрезка существования корня;
x – конец отрезка существования
10
Конец
Корня; y – значение функции при x.

15. 3.2. Алгоритмы уточнения корней уравнения.

16.

17.

18.

Рис. 3.5 Схема алгоритма
метода бисекций (дихотомии)

19.

1
Входные данные:
–b=x
заданная точность;
a – левая граница отрезка;
b – правая граница отрезка.
Bisection
2
ya =f(a)
yb =f(b)
3
ya yb 0
д
i=0 а
4
5
11
Вывод
"Корней нет"
i = i+1;
x =(a+b)/2
6
12
Stop
y=f(x)
7 ya y>0
8
нет 9
нет
a=x
д
а
|y| /\ b-a<ε
10
д
а
Exit
нет
7
Выходные данные:
x – приближенное значение
корня;
y – значение функции при
найденном корне х;
i – выполненное число итераций.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

x'
<1
x [a,b].

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

Проверим полученное значение, подставив в исходное уравнение:
f ( x 6 ) 0,453917 3 2 0,453917 1 0,093525 0,907834 1 0,001359
Значение f(x) близко к 0 с точностью, близкой к ε,
следовательно, корень уточнен правильно.

37. 3.2.3 Метод Ньютона (касательных).

38.

39.

40.

41.

итерационный процесс. При этом, чем больше значение модуля производной в
окрестности корня (чем круче график функции), тем быстрее сходимость.