Аксиома параллельных прямых

1.

История
• В Древней Греции всех ораторов учили
геометрии.
На дверях школы было написано:
«Не знающий геометрии, да не
войдёт сюда»
Это объясняется тем, что
геометрия учит рассуждать и
доказывать.
Речь человека убедительна, когда он
доказывает свои выводы

2. Аксиома параллельных прямых

08.02.2022
Аксиома параллельных
прямых
Автор презентации: Лавлинский Максим Викторович

3. Цели урока:

1. Узнать, что такое аксиома
2. Рассмотреть аксиому
параллельных прямых и ее
следствия.

4. Дать определение параллельных прямых

Две прямые на плоскости
называются параллельными,
если они не пересекаются
a
b
a||b

5. Назвать все углы при пересечении двух прямых секущей

c
1 2
3
4
6
5
7
8
3 и 5, 4 и 6
Накрест лежащие углы
a
b
4 и 5, 3 и 6
Односторонние углы
1 и 5, 4 и 8,
2 и 6, 3 и 7,
Соответственные углы

6. Сформулировать признаки параллельности двух прямых

1. Если при пересечении двух
прямых секущей накрест
лежащие углы равны, то прямые
параллельны
c
a
1
2
b

7. Сформулировать признаки параллельности двух прямых

2. Если при пересечении двух
прямых секущей
соответственные углы равны, то
прямые параллельны
c
2a
1
b

8. Сформулировать признаки параллельности двух прямых

3. Если при пересечении двух
прямых секущей сумма
односторонних углов равна 180 ,
то прямые параллельны
c
a
1
2
1+ 2=180
b

9. Решить задачу

c
30 1
2
a
4 3
150
5 6 b
8 7
Дано: c ∩ a, c ∩ b,
1=30 ,
6 в 5 раз
больше 1
Доказать: а||b
Решите задачу тремя способами:
I - вариант
II - вариант
III - вариант
Через накрест
лежащие углы
Через
соответственные
углы
Через
односторонние
углы

10. Практические способы построения параллельных прямых

a
Практические способы
построения
параллельных прямых
b
M

11.

Мы можем решить такую
задачу: через точку, не
лежащую на прямой, провести
прямую, параллельную
данной.
А сколько таких прямых
можно провести?

12.

Можно ли через т. М провести еще одну
прямую , параллельную прямой а ?
a
b
b´
Нам представляется, что через
т.М нельзя провести прямую
(отличную от прямой в),
параллельную прямой а.
M
Можно ли это
утверждение доказать?
Может, существует еще одна прямая
b´, проходящая через т. М и
параллельная прямой а?

13.

Оказывается, доказать это невозможно,
хотя ученые на протяжении многих
веков пытались это сделать.
a
b
b´
M
Называли эту проблему проблемой
пятого постулата, потому что в
геометрии Евклида это утверждение
называлось пятым постулатом, а
Евклид жил в III веке до нашей эры.

14.

И только наш русский ученый Н.И.
Лобачевский, обосновал, что это
утверждение не может быть доказано.
a
b
b´
M
Значит утверждение, что через т. М
нельзя провести прямую (отличную
от прямой в), параллельную прямой
а - это аксиома.

15.

В геометрии слово «аксиома»
вы слышите впервые, но в
жизни оно часто
употребляется.
Какое у него значение?

16.

Теорема
Теорема
Теорема
А на чём основаны
доказательства самых
первых теорем
геометрии?
Теорема
?
На аксиомах
Утверждениях о
свойствах
геометрических фигур,
которые принимаются в
качестве исходных
положений ( без
доказательства)

17.

Сначала
формулируются
исходные положения
- аксиомы
На их основе, путём
логических
рассуждений
доказываются другие
утверждения
Такой подход к построению геометрии
зародился в глубокой древности и был
изложен в сочинении «Начала»
древнегреческого учёного Евклида
Геометрия, изложенная в «Началах»,
называется евклидовой геометрией
Некоторые из аксиом Евклида (часть из
них он называл постулатами) и сейчас
используются в геометрии
365 – 300 гг. до н.э.
Слово «аксиома»
происходит от
греческого «аксиос»,
что означает
«ценный,
достойный».

18.

На самом деле, с
аксиомами вы уже
встречались в I главе и во
II главе

19.

Например, аксиомой является утверждение
о том, что через любые две точки проходит
прямая, и притом только одна.
А
В

20.

Сравнение двух отрезков вы проводили с помощью
наложения одного отрезка на другой. Возможность
такого наложение вытекает из следующей аксиомы:
на любом луче от его начала можно отложить
отрезок, равный данному, и притом только один.
С
А
D
B
h
AB=CD

21.

Сравнение двух углов основано на
аналогичной аксиоме: от любого луча в
заданную сторону можно отложить угол,
равный данному неразвернутому углу, и
притом только один
КА
О
B
С
h
АОВ КОС

22.

Обо всех аксиомах
планиметрии вы можете
прочитать в конце
учебника в приложении 1.

23. Аксиома параллельных прямых:

Через точку, не лежащую на
данной прямой, проходит
только одна прямая,
параллельная данной.

24.

У этой аксиомы есть следствия
1о и 2о.
Утверждения, которые
выводятся непосредственно из
аксиом или теорем, называются
следствиями.

25.

1. Если прямая пересекает
одну из двух параллельных
прямых, то она пересекает и
другую.
с
М
2.Если две прямые
параллельны третьей
прямой, то они
параллельны.
а
в
а
с
в
Доказательство:
Доказательство:
1. Предположим, что прямая с не
пересекает прямую в, значит, с в.
2. Тогда через т.М проходят две прямые а
и с параллельные прямой в.
3. Но это противоречит аксиоме
параллельных прямых, значит, прямая
с пересекает прямую в.
1. Предположим, что прямая а и
прямая в пересекаются.
2. Тогда через т.М проходят две
прямые а и в параллельные
прямой с
3 . Но это противоречит аксиоме
параллельных прямых.
4. Значит прямые а и в
параллельны.
Способ рассуждения, который называется методом доказательства от противного

26.

Цель последующих уроков –
научиться использовать
аксиому параллельных
прямых при изучении свойств
прямых и при решении задач.

27. Домашнее задание:

1. П. 27, 28,
2. № 196, 198

28. Тест:

29.

Решение задач
Задача №2
Задача №1
Через точку, не лежащую на
данной прямой p ,
проведены четыре прямые.
Сколько из этих прямых
пересекают прямую p ?
Рассмотрите все возможные
случаи.
Прямая р параллельна
стороне АВ
треугольника АВС.
Докажите, что прямые
АВ и ВС пересекают
прямую р.
А
А
р
р
В
С

30.

Спасибо за внимание!