Практикум №9 по решению стереометрических задач

1.

Практикум №9
по решению
стереометрических задач
Разработано учителем математики
МОУ «СОШ» п. Аджером
Корткеросского района Республики Коми
Мишариной Альбиной Геннадьевной

2.

Шар
в заданиях
ЕГЭ

3. Содержание

Задача №1
Задача №2
Задача №3
Задача №4
Задача №5
Задача №6
Задача №7
• Задачи
Задача №8
Задача №9
Задача №10
Задача №11
Задача №12
Задача №13
Задача №`4
Задача №15
Задача №16
Задача №17
Задача №18
для самостоятельного решения

4. Задача №1

Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь
поверхности шара
Радиус большого круга является радиусом шара.
Площадь
первого
выражается
через
радиус
как
Skp.=πR², а площадь
поверхности сферы – как Sш.= 4πR². Видно, что
площадь поверхности шара в
4 раза больше
площади поверхности большого круга. Значит
Sш.= 4·3 = 12

5. Задача №2

Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара,
если радиус шара увеличить в 2 раза?
Площадь
поверхности
шара
выражается
через
его
радиус
формулой Sш.= 4πR², поэтому при
увеличении радиуса вдвое площадь
увеличится в 22 = 4 раза.

6. Задача №3

Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус
увеличить в три раза?
Т.к. объём шара вычисляется по формуле:
V = 4/3·π·r³, то
при увеличении радиуса втрое, объем
шара увеличится в 27 раз.

7. Задача №4

Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во
сколько раз площадь поверхности первого шара больше
площади поверхности второго?
Решение. 1) Объемы шаров соотносятся как
V1:V2= R1³: R2³= (R1/R2)³=27 => R1/R2 =3
2) Площади их поверхностей соотносятся как
S1:S2= R1²: R2²= (R1/R2)²=3²=9

8. Задача №5

Даны два шара. Диаметр первого шара в 8 раз больше
диаметра второго. Во сколько раз площадь поверхности
первого шара больше площади поверхности второго?
S1:S2= R1²: R2²= (R1/R2)²=(d1/d2)²=8²=64

9. Задача №6

Однородный шар диаметром 3 см имеет массу 162 грамма.
Чему равна масса шара, изготовленного из того же
материала, с диаметром 2 см? Ответ дайте в граммах.
Масса шара прямо пропорциональна
его объёму. Объёмы шаров относятся
как кубы их радиусов:
V1:V2= R1³: R2³= (R1/R2)³= (d1/d2)²=(2/3)³=8/27
= m1/m2
Следовательно, масса
168·(8/27)= 48 грамм.
второго,
меньшего
шара
равна

10. Задача №7

Даны два шара с радиусами 8 и 4. Во сколько раз площадь
поверхности первого шара больше площади поверхности
второго?
Решение. Т.к. Площадь поверхности шара вычисляется по
формуле: S = 4π·r², то
1) Найдём площадь поверхности первого шара: 256π
2) Найдём площадь поверхности второго шара: 64π
3) Найдём отношение площадей:
256π : 64π = 4

11. Задача №8

Даны два шара с радиусами 2 и 1. Во сколько раз объём
первого шара больше объёма второго?
Решение. Т.к. объём шара вычисляется по формуле:
V = 4/3·π·r³, то
1) Найдём объём первого шара: 4/3·8π
2) Найдём объём второго шара: 4/3·π
3) Найдём отношение объёмов: 4/3·8π : 4/3·π = 8

12. Задача №9

Шар, объём которого равен 6π, вписан в куб. Найдите
объём куба.
Ребро куба равно двум радиусам вписанного
в куб шара, поэтому объем куба,
выраженный через радиус вписанного в него
шара, находится по формуле Vk.=(2R)³= 8R³
Объём шара вычисляется по формуле
V= 4/3·πR³ и это равно 6π.
Значит 4/3·πR³= 6π => R³=18π/4π =9/2.
Тогда Vk.= 8R³= 8·(9/2)=36

13. Задача №10

В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара,
деленный на π .
Радиус вписанного в куб шара равен
половине длины ребра:
R=a:2=3:2=1,5
3
4 3 4 3
4 27
9
V R 4,5
3
3 2
3 8
2

14. Задача №11

Объем шара равен 288π. Найдите площадь его
поверхности, деленную на π .
Из формулы объёма шара V = 4/3·π·r³
выразим радиус и вычислим его:
3
V
3
288
R 3
3
6
4
4
Тогда площадь поверхности шара будет равна
S = 4π·r² = 4π·36=144π

15. Задача №12

Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара,
объем которого равен сумме их объемов.
Объёма шара V = 4/3·π·r³
Поэтому cумма объёмов трёх шаров равна
4
4
4
4
3
3
3
6 8 10 (6 3 8 3 10 3 )
3
3
3
3
4
4
4
3
3
3
3
3
3
2 (3 4 5 ) 2 6 12 3
3
3
3
Значит искомый радиус равен 12.

16. Задача №13

Около куба с ребром √3 описан шар. Найдите объем
этого шара, деленный на π .
Пусть длина ребра куба равна а, а его
диагональ равна d. Радиус описанного
шара R равен половине диагонали куба:
1
1
1
3
R d a 3
3 3
2
2
2
2
3
4 3 4 3
9
V R
3
3 2
2
Ответ: 4,5

17. Задача №14

Радиусы двух шаров равны 6, 8. Найдите радиус шара,
площадь поверхности которого равна сумме площадей их
поверхностей.
Из условия S3=S1+S2 и S = 4π·r²
найдём
4 R 4 R 4 R
2
3
2
1
2
2
R3 R R 36 64 10
2
1
2
2

18. Задача №15

Вершина А куба ABCDA1B1C1D1 со стороной 1,6 является
центром сферы, проходящей через точку A1. Найдите
площадь S части сферы, содержащейся внутри куба. В
ответе запишите величину S/π .
Решение. Так как одна из вершин куба является центром
сферы с радиусом, меньшим либо равным стороне куба,
в кубе содержится 1/8 сферы и, соответственно, 1/8 ее
поверхности, равная
1
1
2
2
S 4 R 1,6 1,28
8
8
2

19. Задача №16

Середина ребра куба со стороной 1,9 является центром
шара радиуса 0,95. Найдите площадь S части поверхности
шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите S/π .
Решение.
Так как середина ребер куба является центром сферы,
диаметр которой равен ребру куба, в кубе содержится 1/4 сферы
и, соответственно, 1/4 ее поверхности.
1
1
2
2
S 4 R 0,95 0,9025
4
4

20. Задача №17

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу
шара. Объем конуса равен 6. Найдите объем шара.
1
1 2
Vk. Soc. h R R 6
3
3
4 3
Vш. R 24
3

21. Задача №18

Куб вписан в шар радиуса √3 . Найдите объем куба.
Диаметр шара, описанного вокруг куба,
совпадает с его диагональю и вдвое
больше радиуса. Поэтому диагональ куба
равна 2√3. Если ребро куба равно а, то
диагональ
куба
вычисляется
по
формуле d=a√3. Следовательно, ребро
куба равно 2, а его объем равен 8.

22.

Задачи
для самостоятельного
решения

23. Задача №1 Решите самостоятельно

1) Площадь большого круга шара равна 41. Найдите
площадь поверхности шара.
Ответ: 164
2) Площадь большого круга шара равна 10. Найдите
площадь поверхности шара
3) Площадь большого круга шара равна 26. Найдите
площадь поверхности шара

24. Задача №2 Решите самостоятельно

1) Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара,
если радиус шара увеличить в 45 раз?
Ответ: 2025
2) Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара,
если радиус шара увеличить в 16 раз?
3) Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара,
если радиус шара увеличить в 1,5 раза?

25. Задача №3 Решите самостоятельно

1) Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус
увеличить в 10 раз?
2) Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус
увеличить в 4 раза?
3) Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус
увеличить в 15 раз?

26. Задача №4 Решите самостоятельно

Задача №4 Решите
1)
самостоятельно
Объем одного шара в 2197 раз больше объема второго. Во
сколько раз площадь поверхности первого шара больше
площади поверхности второго?
Ответ: 169
2) Объем одного шара в 1331 раз больше объема второго. Во
сколько раз площадь поверхности первого шара больше
площади поверхности второго?
3) Объем одного шара в 1000 раз больше объема второго. Во
сколько раз площадь поверхности первого шара больше
площади поверхности второго?

27. Задача №6 Решите самостоятельно

1) Однородный шар диаметром 3 см имеет массу 81
грамма. Чему равна масса шара, изготовленного из того
же материала, с диаметром 5 см? Ответ дайте в
граммах.
Ответ:375

28. Задача №7 Решите самостоятельно

1) Даны два шара с радиусами 5 и 1. Во сколько раз
площадь поверхности первого шара больше площади
поверхности второго?
Ответ: 25
2) Даны два шара с радиусами 3 и 1. Во сколько раз
площадь поверхности первого шара больше площади
поверхности второго?
Ответ: 9
3) Даны два шара с радиусами 14 и 2. Во сколько раз
площадь поверхности первого шара больше площади
поверхности второго?
Ответ: 49

29. Задача №8 Решите самостоятельно

1) Даны два шара с радиусами 4 и 1. Во сколько раз объём
первого шара больше объёма второго?
Ответ: 64

30. Задача №10 Решите самостоятельно

1) В куб с ребром 21 вписан шар. Найдите объем этого
шара, деленный на π .
2) В куб с ребром 9 вписан шар. Найдите объем этого
шара, деленный на π .
3) В куб с ребром 18 вписан шар. Найдите объем этого
шара, деленный на π .

31. Задача №11 Решите самостоятельно

1) Объем шара равен 18 432 π. Найдите площадь его
поверхности, деленную на π .
2) Объем шара равен 12 348π. Найдите площадь его
поверхности, деленную на π .
3) Объем шара равен 26.244π. Найдите площадь его
поверхности, деленную на π .
4) Объем шара равен 972π. Найдите площадь его
поверхности, деленную на π .

32. Задача №12 Решите самостоятельно

1) Радиусы трех шаров равны 2, 12 и 16. Найдите радиус
шара, объем которого равен сумме их объемов.
Ответ:18
2) Радиусы трех шаров равны 1, 6 и 8. Найдите радиус
шара, объем которого равен сумме их объемов.
3) Радиусы трех шаров равны 15, 20 и 25. Найдите радиус
шара, объем которого равен сумме их объемов.

33. Задача №13 Решите самостоятельно

1) Около куба с ребром √243 описан шар. Найдите
объем этого шара, деленный на π . Ответ:
2) Около куба с ребром √300 описан шар. Найдите
объем этого шара, деленный на π .
3) Около куба с ребром √507 описан шар. Найдите
объем этого шара, деленный на π .

34. Задача №14 Решите самостоятельно

1) Радиусы двух шаров равны 21, 72. Найдите радиус
шара, площадь поверхности которого равна сумме
площадей их поверхностей.
Ответ: 75
2) Радиусы двух шаров равны 8, 15. Найдите радиус шара,
площадь поверхности которого равна сумме площадей
их поверхностей.
3) Радиусы двух шаров равны 32, 60. Найдите радиус
шара, площадь поверхности которого равна сумме
площадей их поверхностей.

35. Задача №15 Решите самостоятельно

1) Вершина А куба ABCDA1B1C1D1 со стороной 1,2 является
центром сферы, проходящей через точку A1. Найдите
площадь S части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе
запишите величину S/π .
2) Вершина А куба ABCDA1B1C1D1 со стороной 0,7 является
центром сферы, проходящей через точку A1. Найдите
площадь S части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе
запишите величину S/π .
3) Вершина А куба ABCDA1B1C1D1 со стороной 0,9 является
центром сферы, проходящей через точку A1. Найдите
площадь S части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе
запишите величину S/π .

36. Задача №16 Решите самостоятельно

1) Середина ребра куба со стороной 1,8 является центром
шара радиуса 0,8. Найдите площадь S части
поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе
запишите S/π .
2) Середина ребра куба со стороной 2,4 является центром
шара радиуса 1,2. Найдите площадь S части
поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе
запишите S/π .

37. Задача №17 Решите самостоятельно

1) Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен
радиусу шара. Объем конуса равен 27. Найдите объем
шара.
2) Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен
радиусу шара. Объем конуса равен 45. Найдите объем
шара.
3) Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен
радиусу шара. Объем конуса равен 12√3. Найдите
объем шара.

38. Задача №18 Решите самостоятельно

Задача №18 Решите
1)
2)
3)
4)
самостоятельно
Куб вписан в шар радиуса 0,5√3 . Найдите объем
куба.
Ответ: 1
Куб вписан в шар радиуса 10,5√3 . Найдите объем
куба.
Куб вписан в шар радиуса 8√3 . Найдите объем
куба.
Куб вписан в шар радиуса 15,5√3 . Найдите объем
куба.

39. Используемые ресурсы

• Шаблон подготовила
учитель русского языка и литературы
Тихонова Надежда Андреевна
• «Решу ЕГЭ» Образовательный портал для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ.
Режим доступа: http://mathb.reshuege.ru
http://sch-53.ru/files/director/GIA/2016/%D0%95%D0%93%D0%AD%202016.jpg
Автор и источник заимствования неизвестен
http://www.ourcity.ru/images/art/img_big_1274700246.jpg
http://oboi.ucoz.de/_ph/4/980025544.jpg
http://gym1517.narod.ru/awg/d55.jpg