Урок 6. Теоремы умножения вероятностей

1. Урок 6.

Теоремы умножения
вероятностей

2. Условная вероятность

Задача 1.
Пусть А – выпадение четной цифры при
бросании игральной кости;
В – выпадение цифры < 6.
Найти вероятность совместного появления
этих событий.
Р(АВ)
АВ – выпадение 2 или 4, Р(АВ)=2/6=1/3.
Р(А) = 3/6; Р(В) = 5/6.
Р(АВ) = 3/6 * х = 1/3, х = 2/3
Р(АВ) = у* 5/6 = 1/3, у = 2/5

3.

Условной вероятностью Р(В/А) называется
вероятность события В, вычисленная в
предположении, что событие А уже наступило.
Задача2. В ящике 7 одинаковых шаров с №1 по
№7. Наудачу один за другим вынимают 2
шара, не возвращая их обратно. Известно, что
первый вынутый шар под №3. Найти
вероятность, что второй шар имеет нечетный
номер.

4. 1.Теорема умножения для совместного появления двух событий.

Вероятность совместного появления
двух событий равна произведению
вероятности одного из них на условную
вероятность другого, вычисленную в
предположении, что первое событие
уже наступило.
Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А)

5.

Задача 3. В коробке 9 одинаковых ламп, 3 из
которых были в употреблении. В течении дня
мастеру пришлось взять 2 лампы. Какова
вероятность, что обе они были в
употреблении?
Задача 4. Брошена игральная кость. Какова
вероятность, что выпадет четное и
меньше 5 очков?
Р(АВ)= 2/6= 1/3; Р(А)= 1/2; Р(В/А)= 4/6= 2/3; Р(АВ)=
1/2*2/3= 1/3.
Но Р(В)=4/6=Р(В/А).
Два события называются независимыми ,
если появление одного из них не изменяет
вероятность появления другого.

6. Теорема умножения для совместного появления двух независимых событий

Вероятность совместного появления
двух независимых событий равна
произведению их вероятностей.
Р(АВ)=Р(А)*Р(В)

7. Задачи.

5. Брошены две игральные кости. Какова
вероятность, что на первой выпадет
четное количество очков, а на второй
число меньше 6?
6. Вероятность поломки первого станка в
течении смены 0,1, а второго – 0,2.
Какова вероятность, что в течении
смены оба станка потребуют наладки?

8.

7. Два спортсмена независимо друг от друга
стреляют по одной мишени. Вероятность
попадания первого – 0,7, второго – 0,8. Какова
вероятность, что мишень будет поражена?
Теорема. Вероятность совместного
наступления конечного числа событий равна
произведению вероятности одного из них на
условные вероятности других, причем
вероятность каждого последующего
события вычисляют в предположении, что
все предыдущие уже наступили.
Р(АВС)=Р(А)*Р(В/А)*Р(С/АВ)

9. Задача 8.

В гараж поступили 24 новые машины, из
которых 10 легковых, а остальные – грузовые.
Четырем водителям необходимо выделить по
машине. Какова вероятность, что три водителя
получат по грузовой машине, а четвертый –
легковую?

10. Определение. События называются независимыми в совокупности, если наряду с их по парной независимостью независимы любые из них и произвед

Определение. События называются независимыми в
совокупности, если наряду с их по парной
независимостью независимы любые из них и
произведение любого числа остальных.
Теорема. Вероятность совместного появления
нескольких событий, независимых в
совокупности, равна произведению
вероятностей этих событий.
Теорема. Вероятность появления хотя бы
одного из независимых в совокупности
событий равна разности между 1 и
произведением вероятностей
противоположных событий.
Р( А1 А2 ... Аn ) 1 Р( А1 ) Р( А2 ) ... Р( Аn )

11. Задача 9.

В трех залах кинотеатра идут три различных
фильма. Вероятность того, что в кассе
первого зала есть билеты равна 0,3, второго –
0,4, третьего – 0,5. Какова вероятность, что на
данный час имеется возможность купить
билет хотя бы на один фильм?

12. Теоремы вероятностей

Теорема сложения (для несовместных событий)
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Теорема сложения (для совместных событий)
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
Теорема умножения (для зависимых событий)
Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)
Теорема умножения (для независимых событий)
Р(АВ)=Р(А)Р(В)
Теорема о нахождении вероятности хотя бы одного из
независимых событий
Р( А1 А2 ... Аn ) 1 Р( А1 ) Р( А2 ) ... Р( Аn )

13. Задача 10.

1.
2.
3.
4.
5.
Устройство содержит два независимо
работающих элемента. Вероятности отказов
элементов соответственно равны 0,05 и 0,08.
Найти вероятности отказа:
Обоих элементов;
Хотя бы одного элемента;
Только одного элемента;
Отказа работы прибора;
Только первого элемента.