3.11M

Category: $mathematics$ mathematics

Методы и способы решения нестандартных задач встречающихся в начальном курсе математики

1.

Методы и способы решения
нестандартных задач
встречающихся в начальном
курсе математики

Нестандартная задача – это задача, алгоритм решения, которой
учащимся неизвестен, то есть учащиеся не знают заранее ни способов
решения, ни того, на какой учебный материал опирается решение.
(Л.М. Фридман)
Эффективность обучения младших школьников решению
нестандартных задач зависит от нескольких условий:
1. Задачи следует вводить в процессе обучения в определенной
системе с постепенным нарастанием сложности.
2. Необходимо
предоставлять
учащимся
максимальную
самостоятельность в поиске решения задач.
3. Нужно помочь осознать учащимся некоторые способы, приемы,
общие подходы к решению нестандартных арифметических задач

3.

При решении занимательных задач преследуются следующие
цели:
• формирование и развитие мыслительных операций: анализа, синтеза,
сравнения, аналогии, обобщения и т.д.;
• развитие и тренинг мышления вообще и творческого в частности;
• поддержание интереса к предмету, к учебной деятельности;
• развитие качеств творческой личности (познавательная активность, упорство
в достижении цели, самостоятельность, усидчивость);
• подготовка учащихся к творческой деятельности (творческое усвоение
знаний, способов действий, умение переносить знания и способы действий в
незнакомые ситуации и видеть новые функции объекта)

4.

Нестандартные задачи по математике, используемые в начальной школе,
условно можно разделить на следующие группы:
• задачи на взвешивание
• задачи на переливание;
• задачи, решаемые с «конца»;
• задачи на установление взаимно-однозначного соответствия между
множествами;
• задачи о лжецах;
• задачи о переправах;
• задачи, решаемые с помощью логических выводов и т.д.

5.

Методы решения:
алгебраический;
арифметический;
графический;
практический;
метод предположения;
метод перебора
Способы решения:
способ рассуждений;
способ составления таблиц;
способ построения графов;
способ бильярда;
способ кругов Эйлера
Приёмы работы над задачей
1. Изучение условия задачи.
2. Выдвижение идеи(плана) задачи.
3. Поиск аналогии, сравнительные
чертежи.
4. Разбиение задачи на подзадачи.
5. Решение одной задачи
несколькими способами.
6. Приём разбора готового
решения.

6.

На первом этапе учащиеся должны:
усвоить процесс решения любой задачи (читаю задачу, выделяю, что
известно и что надо узнать);
познакомиться с приемами работы над задачей (видами наглядной
интерпретации, поиска решения, проверки решения задачи и др.)
На втором этапе
учащиеся применяют ранее сформулированные общие приемы в ходе
самостоятельного поиска решения конкретных задач.
при поиске решения незнакомой задачи полезно сделать чертеж
(рисунок), т.к. именно он может быть способом решения задачи.

7.

Памятка
Если тебе трудно решить задачу, то попробуй:
- сделать к задаче рисунок или чертеж (подумай, может быть
нужно сделать на них дополнительные построения или изменить
чертеж в процессе решения задачи);
- ввести вспомогательный элемент (часть);
- использовать для решения задачи способ подбора;
- переформулировать задачу другими словами, чтобы она стала
более понятной и знакомой;
- разделить условие или вопрос задачи на части и решить ее по
частям;
- начать решение задачи с «конца»

8.

Задачи на переливание и взвешивание
Задачи на взвешивание – достаточно распространенный вид
математических задач.
В таких задачах от решающего требуется
локализовать отличающийся от остальных предмет по весу за ограниченное
число взвешиваний.
Поиск решения в этом случае осуществляется путем операций
сравнения, правда, не только одиночных элементов, но и групп элементов
между собой.

9.

Задача №1
Из девяти монет одна фальшивая: она легче остальных.
Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить, какая
именно монета фальшивая?

10.

Решение:
• Разобьём монеты на 3 кучки по 3 монеты.
Первое взвешивание: положим по 3 монеты на каждую чашку весов.
Возможны два варианта:
1. Равновесие.
Тогда на весах только настоящие монеты, а фальшивая среди тех монет,
которые не взвешивались.
2. Одна из кучек легче.
Значит в ней фальшивая монета.

11.

Второе взвешивание: теперь требуется найти фальшивую
среди трёх монет ( по методу первого взвешивания).

12.

Задача №2
В мешке 24 кг гвоздей. Как, имея только чашечные весы без гирь,
отмерить 9 кг гвоздей?

13.

Решение:
Основная доступная операция – деление некоторого (произвольного)
количества гвоздей на две равные по весу кучки.
Результаты взвешивания будем записывать в таблицу по шагам:
Шаги
1кучка
2 кучка
3 кучка
1 шаг
12 кг
12кг
2 шаг
12 кг
6 кг
6 кг
3 шаг
12 кг
6 кг
3 кг
4 кучка
3кг

14.

Задачи на переливание – это задачи, в которых с помощью
сосудов известных ёмкостей требуется отмерить некоторое
количество жидкости.
Задача № 1. В восьмилитровом бидоне находится молоко. Как при
помощи пятилитрового бидона и трёхлитровой банки отмерить 4
литра молока?

15.

Решение:
Бидон 8л
8
3
3
6
6
1
1
4
Бидон 5л
0
5
2
2
0
5
4
4
Банка 3л
0
0
3
0
2
2
3
0

16.

Задачи на установление взаимно однозначного соответствия
между множествами
данных
множеств.
Многие логические задачи
связаны с рассмотрением нескольких
конечных множеств с одинаковым количеством элементов, между которыми
имеются некоторые зависимости.
Требуется установить взаимно однозначное соответствие между
элементами данных множеств.
Решение задач такого типа оформляется в виде таблицы. Элементы
одного множества располагаются по строкам, другого – по столбцам. Если
по условию задачи между элементами множеств есть соответствие, то в
клетке на пересечении данных строки и столбца ставится «плюс», в случае
отсутствия зависимости – «минус».
Рассмотрим этот метод на примере конкретных задач.

17.

Задача:
Оля, Таня, Юля и Ира варили варенье. Две девочки варили его из
смородины, две девочки – из клубники.
Таня и Ира варили варенье из
разных ягод. Ира и Оля тоже варили его из разных ягод. Ира варила варенье
из клубники. Из каких ягод варила варенье каждая девочка?

18.

Решение:
1. Составим таблицу 4 ∙ 2, т.к. было 4 девочки и 2 вида ягод.
Оля
смородина
клубника
Таня
Юля
Ира

19.

Внимательно
соответствия.
читаем
условие
задачи
и
начинаем
расставлять
Оля, Таня, Юля и Ира варили варенье. Две девочки варили его из
смородины, две девочки – из клубники.
Таня и Ира варили варенье из
разных ягод. Ира и Оля тоже варили его из разных ягод. Ира варила варенье из
клубники. Из каких ягод варила варенье каждая девочка?
Из условия задачи нам известно, что Ира варила варенье из клубники.
Оля
Таня
Юля
Ира
смородина
клубника
+

20.

Оля, Таня, Юля и Ира варили варенье. Две девочки варили его из
смородины, две девочки – из клубники. Таня и Ира варили варенье из
разных ягод. Ира и Оля тоже варили его из разных ягод. Ира варила
варенье из клубники. Из каких ягод варила варенье каждая девочка?
Таня и Ира варили варенье из разных ягод, следовательно варенье
Тани из смородины.
Оля
Таня
Юля
Ира
смородина
+
_
клубника
_
+

21.

Ира и Оля тоже варили варенье из раз-ных ягод, значит
Оля варила варенье из смородины.
Оля
Таня
Юля
Ира
смородина
+
+
_
клубника
_
_
+

22.

По условию задачи известно, что две девочки варили варенье из смородины,
две девочки – из клубники, следовательно Юля варила варенье из клубники.
Оля
Таня
Юля
смородина
+
+
_
_
клубника
_
_
+
+
Ответ:
Варенье из смородины варили Оля и Таня, из клубники Ира и Юля
Ира

23.

Задачи:
Наташа, Валя, Маша, Галя и Лена вырезали из бумаги разные
фигуры. Кто-то вырезал круг из бумаги в клетку, кто-то круг из
бумаги в линейку, кто-то квадрат из бумаги в клетку, кто-то квадрат
из бумаги в линейку, а кто-то флажок из белой бумаги. Галя и Валя
вырезали круги. Галя и Наташа вырезали из бумаги в клетку. Наташа
и Маша вырезали квадраты. Кто что вырезал?
2.
В соревнованиях по гимнастике Заяц, Мартышка, Удав и
Попугай заняли первые 4 места. Определите, кто какое место занял,
если известно, что Заяц -2, Попугай не стал победите-лем, но в
призёры попал, а Удав уступил Мартышке.
3.
Три девочки, Алла, Вера и Даша на праздник пришли одна в
красном платье, другая в белом, третья в синем платье. Среди
высказываний: Алла была в красном; Вера не в красном; Даша не в
синем платье – одно верно, а два других не
верны. В каком платье была каждая девочка?
1.

24.

Задачи, решаемые с «конца»
Выделение данных задач в отдельную группу связано со способом
рассуждения при решении, которое выполняется с «конца» задачи. В
математической литературе он назван методом инверсии.
Суть его
состоит в следующем: если надо найти число, которое после ряда
операций приводит к известному числу, то необходимо с известным
числом произвести в обратном порядке все обратные операции
Простейшим примером
такой стратегии может служить игра в
лабиринты, нарисованные на бумаге,
которые нужно проходить с помощью
карандаша.

25.

Задача № 1:
Я задумала число, умножила его на 7, прибавила 15 и
получила 50. Какое число я задумала?
Решение: (50 – 15) : 7 = 5
Ответ: 5
Проверка: 5 ·7=35
35+15=50

26.

Задача № 2:
Продавец, сидя на рынке, рассуждала: «Если к моим
яблокам прибавить половину их да ещё десяток, то у меня
была бы целая сотня!» Сколько яблок у неё было?
Решение: (100 – 10) : 3 ∙ 2
Ответ: 60 яблок
Проверка:
60 : 2 = 30
60 + 30 = 90
90 + 10 = 100

27.

Задачи:
1. Гуси. Над озерами летели гуси. На каждом озере садилась половина гусей
и еще полгуся, остальные летели дальше. Все сели на семи озерах. Сколько
было гусей?
2. Крестьянин и царь. Крестьянин пришел к царю и попросил: “Царь,
позволь мне взять одно яблоко из твоего сада”. Царь ему разрешил. Пошел
крестьянин к саду и видит: весь сад огорожен тройным забором. Каждый
забор имеет только одни ворота, и около каждых ворот стоит страж.
Подошел крестьянин к первому стражу и сказал: “Царь разрешил мне взять
одно яблоко из са-да”. “Возьми, но при выходе должен будешь отдать мне
половину яблок, что возьмешь, и еще одно”, – поставил условие страж. Это
же повторили ему второй и третий. Сколько яблок должен взять крестьянин,
чтобы после того, как отдаст части трем стражам, у него осталось одно
яблоко?

28.

При решении различных математических задач применяется
специальный метод, получивший название по имени немецкого
математика: принцип Дирихле.
Петер Густав Лежен
Дирихле
(13.2.1805 - 5.5.1859)

29.

Принцип Дирихле́ («принцип ящиков») — утверждение,
устанавливающее связь между объектами («кроликами») и
контейнерами («клетками») при выполнении определённых
условий. В некоторых языках утверждение известно как
«принцип голубей и ящиков», когда объектами являются
голуби, а контейнерами — ящики.
9 клеток содержат 7 голубей
по принципу Дирихле
хотя бы
9-7=2 клетки свободны
9 клеток содержат 7 голубей,
по принципу
Дирихле хотя бы
9-7=2 клетки свободны

30.

Формулировки
Наиболее распространена следующая
формулировка этого принципа:
Если в N клетках сидят не менее
N + 1 кроликов, то в какой-то из клеток
сидит не менее двух кроликов.
Более общая формулировка звучит так:
Если в N клетках сидят не менее
kN + 1 кроликов, то в какой-то из
клеток сидит по крайней мере
k + 1 кролик.
Возможны также формулировки для
частных случаев:
Если число клеток больше, чем число
кроликов, то как минимум одна клетка
пуста.

31.

Рассмотрим примеры различных задач, решаемых с помощью
принципа Дирихле
Задача № 1: В классе 15 учеников. Докажите, что найдутся как
минимум 2 ученика, отмечающих дни рождения в один месяц.
Решение:
Пусть 15 учеников будут «зайцы». Тогда «клетками» будут
месяцы года, их 12. Так как 15 > 12, то, по принципу Дирихле, найдется,
как минимум, одна клетка, в которой будет сидеть,
по крайней мере, 2 «зайца». То есть, найдется месяц, в котором
будут отмечать дни рождения не менее 2 учеников класса.

32.

Задача № 2: В коробке лежат 5 карандашей: 2 синих и 3 красных.
Сколько карандашей надо взять из коробки, не глядя в неё, чтобы среди
них был хотя бы 1 красный?
Решение:
3 карандаша: если достанем 2 синих, то третий будет красным.

33.

Задачи:
1. В классе 27 учеников. Найдется ли месяц, в котором
отмечают свои дни рождения не меньше, чем три
ученика этого класса.
2. В одном из классов школы 26 учеников. Можно ли
утверждать, что в этом классе найдутся хотя бы два
ученика, фамилии которых начинаются с одной и той же
буквы?
3. В одной коробке хранятся перчатки. 5 пар белых и 5 пар
чёрных. Сколько перчаток необходимо взять из этой
коробки для того, чтобы можно было выбрать 1 пару
перчаток?

34.

Задачи на установление взаимно однозначного
соответствия между множествами
Анализ условия задач данного вида приводит к необходимости
сопоставления двух (трёх и т.д.) групп объектов, сходных по сути, но
имеющих отличительные признаки (например, разное количество ног,
колёс, страниц и т.п.)

35.

Задача №1 :
У 10 велосипедов 27 колес. Сколько из этих велосипедов трехколесных
и сколько двухколёсных?
Задача легко решается с помощью рисунка.

36.

Решение
1. Каждый велосипед обозначим чертой. Их 10 .
2. К каждому из них можно смело пририсовать по 2 колеса, т. к .2
колеса есть у любого велосипеда. Нарисовано 20 колес. Осталось
нарисовать 7 колес.
3. Сколько колёс можно пририсовать к велосипедам? (По одному,
так как среди велосипедов есть и трехколесные)
На сколько велосипедов хватит оставшихся колёс? (На
7 велосипедов).
4. Дорисуем оставшиеся 7 колес. Их хватит на 7 велосипедов.
Ответ: было 7 трехколесных и 3 двухколёсных велосипедов.

English Русский Rules