ТЕОРИЯ КРИВЫХ
Сопровождающий трехгранник кривой
Сопровождающий трехгранник
Сопровождающий трехгранник
Касательный вектор
Касательный вектор
Уравнение касательной
Уравнение касательной
Длина дуги. Натуральная параметризация
Длина дуги. Натуральная параметризация
Длина дуги. Натуральная параметризация
Уравнение касательной в натуральной параметризации
Уравнение главной нормали в натуральной параметризации
Уравнение бинормали в натуральной параметризации
Уравнение бинормали в натуральной параметризации
Уравнение нормальной плоскости в натуральной параметризации
Уравнение соприкасающейся плоскости в натуральной параметризации
Уравнение соприкасающейся плоскости в натуральной параметризации
Уравнение спрямляющей плоскости в натуральной параметризации
Сопровождающий трехгранник в произвольной параметризации
Сопровождающий трехгранник в произвольной параметризации
Сопровождающий трехгранник в произвольной параметризации
238.00K
Category: mathematicsmathematics

Теория кривых. Сопровождающий трехранник

1. ТЕОРИЯ КРИВЫХ

Сопровождающий
трехгранник

2. Сопровождающий трехгранник кривой

Определение: прямая, перпендикулярная касательной к кривой и
проходящая через точку касания, называется нормалью.
В любой точке кривой имеется бесконечно много нормалей.
Определение: нормаль кривой, параллельная вектору r
называется главной нормалью.

3. Сопровождающий трехгранник

Определение: нормаль, перпендикулярная главной нормали,
называется бинормалью.
b [r ; r ]
(9)
(9) – направляющий вектор бинормали.
Определение: касательная, главная нормаль и бинормаль
являются рёбрами сопровождающего
трехгранника кривой в данной точке.
Определение: нормальной плоскостью кривой в точке Р
называется плоскость, содержащая все нормали
в данной точке.

4. Сопровождающий трехгранник

Определение: плоскость, содержащая касательную и главную
нормаль в данной точке кривой, называется
соприкасающейся плоскостью.
Определение: плоскость, содержащая касательную и бинормаль,
называется спрямляющей плоскостью.
Определение: нормальная, соприкасающаяся и спрямляющая
плоскости являются гранями сопровождающего
трехгранника кривой в данной точке.

5. Касательный вектор

Пусть кривая задана
r r (t )
Выберем два различных
параметра
t и t+Δt ,
где Δt - приращение
параметра.
r r (t t ) r (t ) при t 0
r - бесконечно малый касательный вектор.

6. Касательный вектор

При стремлении Δt к нулю точка с параметром t+Δt устремится к
точке с параметром t, и вектор r займёт своё предельное
положение и станет касательной к кривой в точке с параметром t.
r
Поэтому предельное значение вектора t - это касательный
вектор к кривой в точке с параметром t :
r
t 0 t
r lim
(4)
Касательный вектор r определяет направление перемещения
точки вдоль кривой для данного значения параметра t.

7. Уравнение касательной

r
r
r
r (t ) {x(t ); y (t ); z (t )}
- радиус-вектор точки на кривой
{ , , } - радиус-вектор
точки на касательной
r (t ) {x (t ); y (t ); z (t )} - касательный вектор

8. Уравнение касательной

r || r тогда и только тогда, когда пропорциональны координаты:
x(t )
x (t )
y(t )
y (t )
z (t )
z (t )
(5)
(5) – уравнение касательной в произвольной параметризации.

9. Длина дуги. Натуральная параметризация

Рассмотрим кривую и две бесконечно близкие точки.
s длина пути вдоль кривой от точки с параметром
t до точки с параметром t+Δt.
s
r
r (t )
r (t t )

10. Длина дуги. Натуральная параметризация

| r | s , в пределе
| dr | ds
(6)
( 6)
ds | dr | | r dt | | r | dt
dr r dt
t2
S1, 2 | r | dt
t1
(7) – длина дуги кривой от точки с параметром t1 до точки с
параметром t2.
(7)

11. Длина дуги. Натуральная параметризация

t
S (t ) | r | dt *
t0
где t * [t 0 ; t ] ,
dr
r
dt
S – натуральный параметр на кривой.
dr
r - касательный вектор, | r | 1.
ds
(7 )

12. Уравнение касательной в натуральной параметризации

{ , , } - радиус-вектор точек на касательной,
r ( s) {x( s); y ( s); z ( s)} - точки на кривой,
r {x ( s), y ( s), z ( s)} - касательный вектор;
тогда r || r , следовательно, можно написать в силу
пропорциональности координат:
x( s )
x ( s)
y( s)
y ( s)
z ( s)
z ( s)
(5 )
(5 ) - уравнение касательной в натуральной параметризации.

13. Уравнение главной нормали в натуральной параметризации

r {x ( s), y ( s), z ( s)} - направляющий вектор главной нормали,
так как r r ,в силу утверждения 1
раздела «Векторный анализ».
r ( s) {x( s); y ( s); z ( s)} - точки на кривой,
{ , , } - радиус вектор точек на главной нормали,
тогда r || r , следовательно, в силу пропорциональности
координат можно записать:
x( s ) y ( s ) z ( s )
(10)
x ( s)
y ( s)
z ( s)
(10) – уравнение главной нормали в натуральной параметризации.

14. Уравнение бинормали в натуральной параметризации

b -направляющий вектор бинормали, он должен быть
перпендикулярен касательной и главной нормали, т.е. b [r ; r ] ,
b имеет координаты:
y ( s) z ( s) x ( s) z ( s) x ( s) y ( s)
b
;
;
y
(
s
)
z
(
s
)
x
(
s
)
z
(
s
)
x
(
s
)
y
(
s
)
y ( s) z ( s)
bx
y ( s) z ( s)
x ( s) z ( s)
by
x ( s) z ( s)
x ( s)
bz
x ( s)
{ , , } - радиус-вектор точек на бинормали,
{bx , b y , bz } - вектор бинормали,
r ( s ) {x( s ); y ( s ); z ( s)} - точки на кривой, тогда r || b ,
y ( s)
y ( s)

15. Уравнение бинормали в натуральной параметризации

следовательно, в силу пропорциональности координат запишем:
x( s ) y ( s ) z ( s )
(11)
bx
by
bz
(11) – уравнение бинормали в натуральной параметризации.

16. Уравнение нормальной плоскости в натуральной параметризации

{ , , } - радиус вектор точек нормальной плоскости,
r - направляющий вектор касательной,
r ( s) {x( s); y ( s); z ( s)} - точки на кривой.
Тогда r ( s) r , следовательно:
( r ( s)) r ( s ) 0
распишем это уравнение по координатам:
( x( s)) x ( s) ( y ( s)) y ( s) ( z ( s)) z ( s) 0
(12) – уравнение нормальной плоскости в натуральной
параметризации.
(12)

17. Уравнение соприкасающейся плоскости в натуральной параметризации

1 способ:
b - вектор бинормали,
{ , , } - радиус вектор точек соприкасающейся плоскости,
тогда ( r ) b , следовательно,
( r ) b 0 , распишем
уравнение по координатам:
( x( s)) bx ( y ( s)) b y ( z ( s)) bz 0
(13) – уравнение соприкасающейся плоскости в натуральной
параметризации.
(13)

18. Уравнение соприкасающейся плоскости в натуральной параметризации

2 способ:
{ , , } - радиус-вектор точек соприкасающейся плоскости.
Тогда из определения соприкасающейся плоскости следует, что
вектора касательная r и главная нормаль r лежат в
соприкасающейся плоскости, тогда вектора r , r , r должны
быть компланарны, следовательно:
( r ) r r 0
Распишем по координатам:
x( s ) y ( s ) z ( s )
(13 )
x ( s)
y ( s)
z ( s) 0
x ( s)
y ( s)
z ( s)
(13 ) - уравнение соприкасающейся плоскости в натуральной
параметризации.

19. Уравнение спрямляющей плоскости в натуральной параметризации

r - направляющий вектор главной нормали,
{ , , } - радиус-вектор точек спрямляющей плоскости.
Тогда r r , следовательно выполняется условие
( r ) r 0 ,
Распишем это уравнение по координатам:
( x( s)) x ( s) ( y ( s)) y ( s) ( z ( s)) z ( s) 0
(14) – уравнение спрямляющей плоскости в натуральной
параметризации.
(14)

20. Сопровождающий трехгранник в произвольной параметризации

Пусть кривая задана в произвольной параметризации r r (t ) .
Утверждение 1.
Вектор r лежит в соприкасающейся плоскости кривой в данной
точке.
Доказательство:
s s (t ) , тогда r ( s) r ( s(t )) .
dr dr ds
r s
Рассмотрим вектор r
dt ds dt
r (r s ) (r ) s r s r s
2 r s ,
число
число
следовательно, вектор r лежит в плоскости векторов r , r ,
т.е. в соприкасающейся плоскости.
Ч.т.д.

21. Сопровождающий трехгранник в произвольной параметризации

Вектора r , r лежат в соприкасающейся плоскости кривой.
[r ; r ] B
(15)
B перпендикулярен соприкасающейся плоскости, следовательно,
(15) – направляющий вектор бинормали.
T r - направляющий вектор касательной.
N [r ; B ] [T ; B ] [r ;[r ; r ]] r (r r ) r r 2
(16)
(16) – направляющий вектор главной нормали.
T , B, N
(17) – правая тройка векторов.
(17)

22. Сопровождающий трехгранник в произвольной параметризации

Определение: вектора T , B , N называются направляющими
векторами рёбер сопровождающего
трёхгранника.
Уравнения рёбер и граней сопровождающего трехгранника в
произвольной параметризации выводятся аналогично, как и в
случае натуральной параметризации.
выход

23.

Утверждение 1:
Для того чтобы u u необходимо и достаточно, чтобы
| u | const .

24.

Определение: нормаль кривой, параллельная
вектору r , называется главной
нормалью.

25.

Определение: прямая, перпендикулярная
касательной к кривой в точке x0,
называется нормалью.

26.

Определение: нормаль, перпендикулярная
главной нормали, называется
бинормалью.

27.

Определение: нормальной плоскостью кривой
в точке Р называется плоскость,
содержащая все нормали в данной
точке.

28.

Определение: плоскость, содержащая
касательную и главную нормаль
в данной точке кривой, называется
соприкасающейся плоскостью.

29.

Определение: плоскость, содержащая
касательную и бинормаль,
называется спрямляющей
плоскостью.

30.

Определение: прямая, перпендикулярная
касательной к кривой в точке x0,
называется нормалью.

31.

Определение: нормаль кривой, параллельная
вектору r , называется главной
нормалью.

32.

Определение: прямая, перпендикулярная
касательной к кривой в точке x0,
называется нормалью.

33.

Определение: нормаль кривой, параллельная
вектору r , называется главной
нормалью.

34.

Определение: касательной к линии L в точке М
называется прямая, с которой
стремится совпасть секущая ММ’,
оставаясь на L, стремится к М –
будь то справа или слева.

35.

Определение: касательной к линии L в точке М
называется прямая, с которой
стремится совпасть секущая ММ’,
оставаясь на L, стремится к М –
будь то справа или слева.

36.

Определение: нормаль, перпендикулярная
главной нормали, называется
бинормалью.

37.

Определение: прямая, перпендикулярная
касательной к кривой в точке x0,
называется нормалью.

38.

Определение: нормаль кривой, параллельная
вектору r , называется главной
нормалью.

39.

Определение: касательной к линии L в точке М
называется прямая, с которой
стремится совпасть секущая ММ’,
оставаясь на L, стремится к М –
будь то справа или слева.
English     Русский Rules