Дифференцирование показательной и логарифмической функций

1.

Дифференцирование
показательной и
логарифмической функций
mathvideourok.moy.su

2.

x
e,
Число е. Функция y =
её
свойства, график,
дифференцирование
Проведем касательную к графику функции y = 2x
в точке х = 0 и измерим угол , который образует
касательная с осью х
350

3.

Проведем касательную к графику функции y = 3x
в точке х = 0 и измерим угол , который образует
касательная с осью х

4.

С помощью точных построений касательных к
графикам можно заметить, что если основание а
показательной функции y = аx постепенно
увеличивается от 2 до 10, то угол между
касательной к графику функции в точке х = 0 и
осью абсцисс постепенно увеличивается от 35 до
66,5 .
Следовательно существует основание а, для
которого соответствующий угол равен 45 . И это
значение а заключено между 2 и 3, т.к. при а = 2
угол равен 35 , при а = 3 он равен 48 .

5.

В курсе математического
анализа доказано, что данное
основание существует, его
принято обозначать буквой е.
Установлено, что е –
иррациональное число, т. е.
представляет собой
бесконечную непериодическую
десятичную дробь:
е = 2, 7182818284590… ;
На практике обычно
полагают, что е ≈ 2,7.

6.

График и свойства функции y = еx
1) D (f) = ( - ∞; + ∞ );
2) не является ни четной, ни
нечетной;
3) возрастает;
4) не ограничена сверху, ограничена
снизу
5) не имеет ни наибольшего, ни
наименьшего
значения;
6) непрерывна;
7) E (f) = ( 0; + ∞ );
8) выпукла вниз;
9) дифференцируема.
Функцию
y = еx
называют экспонентой.

7.

Функция у е показательная
х
f ( x) tg 45 1
'
e e
'
x
x
Например :
1) е e 5 x 5e
3x '
3x
2) е 3e
5x '
5x
'
5x

8.

3) e
x '
e x
'
1 12 x
4) e e
2
1
x
2
5) e
2e
2 x 5 '
2 xe
6) e
x2
'
7) e
2 x 5
sin x '
cos x esin x
8) e 0
x2
'
9) e cos x e cos x sin x e
x
'
x
x

9.

Пример 1. Провести касательную к графику
х
функции в точке x=1.
у е
Решение :
у f ( x0 )( x x0 ) f ( x0 )
'
x0 1
f ( x) e
'
y e( x 1) e
x
f ( x0 ) e
f ( x0 ) e
ex e e ex
'
Ответ : y ex

10.

Пример 2.
Вычислить значение производной функции
4 x 12
в точке x = 3.
у e
Решение :
y (e
4 x 12
y 3 4e
) 4e
4 3 12
4 x 12
4 е 4
0
Ответ : 4

11.

Пример 3.
Исследовать на экстремум функцию
y x e
2
Решение :
1) y ( x e ) x e x e
x
x
2 x
2 xe x e xe x 2 ;
2 x
2) y 0;
2
2
2
x
x
xe x 2 0;
x
xe 0; x 2 0;
x
х 0
х 2

12.

3) y xe x 2 ;
у
+
у
-2
+
у ( 3) 0;
у (1) 0
'
x
0
y ( 1) 0;
х 2 точка максимум y x e
2
х
x
4
ymax y 2 2 e 4e 2
e
2 x
х 0 точка минимум y x e
2
y min 0 e 0
2
2
2
0
Ответ : ymin 0; ymax
4
2.
e

13.

Натуральные логарифмы.
Функция y = ln x, её свойства,
график, дифференцирование
Если основанием логарифма служит число е, то
говорят, что задан натуральный логарифм. Для
натуральных логарифмов введено специальное
обозначение ln (l – логарифм, n – натуральный).
ln x log e x
log e 2 ln 2
log e 7 ln 7

14.

!!!
ln е 1;
ln е r;
r
ln1 0;
ln x
log a x
.
ln a
е
!!!
ln x
x;

15.

График и свойства функции y = ln x
Свойства функции y = ln x:
1) D (f) = ( 0; + ∞);
2) не является ни четной, ни
нечетной;
3) возрастает на ( 0; + ∞);
4) не ограничена;
5) не имеет ни наибольшего,
ни наименьшего значений;
6) непрерывна;
7) Е (f) = ( - ∞; + ∞ );
8) выпукла верх;
9) дифференцируема.

16.

В курсе математического анализа доказано,
что для любого значения х>0 справедлива
формула дифференцирования
1
ln x
x
Например :
1
1
1
1) ln 2x
2x 2
x
2x
2x
1
2
(3 2 x)
2) ln(3 2 x)
3 2x
3 2x

17.

3) ln sin x
cos x
1
sin x
sin x
sin x
ctgx
4)(ln 2) 0
5)Вычислить значение производной функции
в точке x = -1.
y ln 3x 5
y ' ln 3x 5
1
3
3
;
3x 5 3x 5
3
у ( 1)
2

18.

Дифференцирование функции
y a
x
a e
a e
x
x ln a
x ln a
x
(a ) (e ) ln a e
ln a a
x
ln a
x ln a
(a ) a ln a
x
Например :
2) 4
x 5
1) 2
x
2 ln 2;
x 5
3
x
4 ln 4.
3) 5 3 5 3 x ln 5.
x
x

19.

Дифференцирование функции
y log a x
ln
x
1
y (log a x)
ln x
ln a
ln a
1
1 1
ln a x x ln a
1
(log a x)
x ln a

20.

1
(log a x)
x ln a
Например :
1
1) log 7 x
x ln 7
2) log 3 2x
3) log 2 x
3
1
2
1
(2 x)
2 x ln 3
2 x ln 3 x ln 3
2
1
3
3x
3
x3 ln 2 ( x ) 3
x ln 2 x ln 2

21.

(e ) ' e
x
!!!
1
ln x
x
x
(a ) a ln a
x
x
!!!
1
(log a x)
x ln a

22.

Таблица производных
у с х хn
у 0 1 nx
n 1
x
sin x cos x tgx
1
cos x sin x
2 x
1
cos 2 x
ctgx
1
2
sin x
e x a x ln x log a x
e
x a x ln a
1
1
x x ln a