3.1. Теорема о циркуляции вектора
3.2. Работа сил электростатического поля. Потенциальная энергия
3.3. Потенциал. Разность потенциалов
3.4. Связь между напряженностью и потенциалом
3.5. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности
3.7. Расчет потенциалов простейших электростатических полей
3.7.2. Разность потенциалов между точками поля, образованного бесконечно длинной цилиндрической поверхностью
3.7.3. Разность потенциалов между обкладками цилиндрического конденсатора
3.7.4. Разность потенциалов заряженной сферы (пустотелой)
3.7.5. Разность потенциалов внутри диэлектрического заряженного шара
810.00K
Category: physicsphysics

Потенциал и работа электростатического поля. Связь напряженности с потенциалом

1.

Тема 3. ПОТЕНЦИАЛ И РАБОТА
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ.
СВЯЗЬ НАПРЯЖЕННОСТИ С ПОТЕНЦИАЛОМ
E
3.1. Теорема о циркуляции вектора
3.2. Работа сил электростатического поля.
Потенциальная энергия
3.3. Потенциал. Разность потенциалов
3.4. Связь между напряженностью и
потенциалом
3.5. Силовые линии и эквипотенциальные
поверхности
3.6. Расчет потенциалов простейших
электростатических полей
1

2. 3.1. Теорема о циркуляции вектора

E
• Рассмотрим поле,
создаваемое
неподвижным точечным
зарядом q.
• В любой точке этого поля
на пробный точечный
заряд q' действует сила F
1 | q || q ' | r
r
F
F (r )
2
4 0 r
r
r
2

3.

• Вычислим работу, которую совершает
электростатическое поле, созданное зарядом q по
перемещению заряда q' из точки 1 в точку 2.
• Работа на пути dl равна:
1 | q || q' |
dlcos ,
• dA Fdlcos
2
4 0 r
• где dr – приращение радиус-вектора при
перемещении на dl; dr dl cos ,
| q || q ' |
dA
d
r
.
2
4 0 r
3

4.

• Полная работа при перемещении из точки 1 в
точку 2 равна интегралу:
| q || q'| dr | q || q'| 1 r2 | q || q'| 1 1
A12
.
2
4 0 r1 r
4 0 r r1 4 0 r1 r2
r2
• Работа электростатических сил не зависит от
формы пути, а только лишь от координат
начальной и конечной точек перемещения.
Следовательно, силы поля консервативны, а
само поле – потенциально.
4

5.

• Если в качестве пробного заряда, перенесенного
из точки 1 заданного поля в точку 2, взять
положительный единичный заряд q, то
элементарная работа сил поля будет равна:
dA qEd l .
5

6.

A q Ed l .
2
• Тогда вся работа равна:
1
• Такой интеграл по замкнутому
контуру называется
циркуляцией вектора E
• Из независимости линейного интеграла от пути
между двумя точками следует, что по
произвольному замкнутому пути:
E
d
l
0
.
• Это утверждение и называют теоремой о
циркуляции.
• Линии электростатического поля не могут быть
замкнутыми
6

7. 3.2. Работа сил электростатического поля. Потенциальная энергия

• Электростатическое поле потенциально, т.е.
обладает потенциальной энергией.
• Работу сил электростатического поля:
A12 W1 W2 .
Это выражение для работы можно переписать в
виде:
qq'
qq'
A12
4 0 r1
4 0 r2
.
• Потенциальная энергия заряда q' в поле заряда q:
1 qq'
W
const.
4 0 r
7

8. 3.3. Потенциал. Разность потенциалов

• Разные пробные заряды q',q'',… будут обладать в
одной и той же точке поля разными энергиями W',
W'' и так далее.
• Однако отношение W / q'пр. будет для всех
зарядов одним и тем же.
• Поэтому можно вести скалярную величину,
являющуюся энергетической характеристикой
собственно поля – потенциал:
W
.
q'
8

9.

• потенциал численно равен потенциальной
энергии, которой обладает в данной точке поля
единичный положительный заряд.
W
.
q'
• потенциал точечного заряда
1 q
.
4 0 r
• физический смысл имеет разность потенциалов,
поэтому договорились считать, что потенциал
точки, удаленной в бесконечность, равен нулю.
9

10.

• Другое определение потенциала:
A
q
или
A q
• потенциал численно равен работе, которую
совершают силы поля над единичным
положительным зарядом при удалении его из
данной точки в бесконечность
10

11.

• Если поле создается системой зарядов, то:
qk q '
W
.
4 0 k rk
1
qk
• Для потенциала k или
4 0 k rk
k
1
• т.е. потенциал поля, создаваемый системой зарядов,
равен алгебраической сумме потенциалов,
создаваемых каждым из зарядов в отдельности.
11

12.

• Работа сил электростатического поля через разность
потенциалов между начальной и конечной точками:
A12 W1 W2 1q 2q q 1 2 .
• Работа над зарядом q равна произведению заряда на
убыль потенциала:
A q 1 2 qU ,
где U – напряжение.
A qU
12

13.

• за единицу φ принимают потенциал в такой точке
поля, для перемещения в которую из
бесконечности единичного положительного заряда
необходимо совершить работу равную единице.
• В СИ единица потенциала
1 В 1 Дж/1 Кл
• Электрон - вольт (эВ) – это работа, совершенная
силами поля над зарядом, равным заряду
электрона при прохождении им разности
потенциалов 1 В, то есть:
1 эВ 1,6 10
19
Кл В 1,6 10
19
Дж.
13

14. 3.4. Связь между напряженностью и потенциалом

• Работу, совершенную силами
электростатического поля на
бесконечно малом отрезке
можно найти так:
dA Fl dl El qdl ,
dA qd ;
El qdl qd
d
El .
dl
14

15.

• Тогда
E i
j
k,
x
y
z
• По определению градиента сумма первых
производных от какой-либо функции по
координатам есть градиент этой функции
grad
– вектор, показывающий направление
наибыстрейшего увеличения функции.
grad i
j k,
x
y
z
E grad
15

16.

E
•Где (набла) означает символический вектор,
называемый оператором Гамильтона
Знак минус говорит о том, что вектор направлен в
сторону уменьшения потенциала электрического
поля.
16

17.

E
•Из условия
следует одно важное
соотношение, а именно,
величина, векторного
произведения [ , E] для стационарных
электрических полей всегда равна нулю.
•Величина [ , E] называется ротором или вихрем
•Уравнение электростатики:
rotE 0
•Таким образом кулоновское электростатическое
поле – безвихревое.
17

18. 3.5. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности

• Напряженность равна разности потенциалов U на
единицу длины силовой линии.
• В однородном электрическом поле силовые линии
– прямые. Поэтому здесь определить E
наиболее просто:
U
E
l
18

19.

•Воображаемая поверхность, все точки которой
имеют одинаковый потенциал, называется
эквипотенциальной поверхностью.
•Уравнение этой поверхности
( x, y, z ) const .
19

20.

Линии напряженности и эквипотенциальные
поверхности взаимно перпендикулярны
20

21.

• Можно по известным значениям φ найти
напряженность поля в каждой точке.
E grad
• или по известным значениям E в каждой точке
поля найти разность потенциалов между двумя
2
произвольными точками поля.
1 2 (E, d l ).
1
• Для обхода по замкнутому контуру
получим:
1
2
(E, d l ) 0,
•циркуляция вектора напряженности
электростатического поля вдоль любого замкнутого
контура равна нулю.
21

22.

•Линии электростатического поля не могут быть
замкнутыми: они начинаются на положительных
зарядах (истоки) и на отрицательных зарядах
заканчиваются (стоки) или уходят в бесконечность
22

23. 3.7. Расчет потенциалов простейших электростатических полей

3.7.1. Разность потенциалов между двумя
бесконечными заряженными плоскостями
d
E
,
dl
E
| |
d Edl
0
| |
2
x2
d dx;
0
1
2 1
| |
0
x1
x2 x1
23

24.

• На рисунке изображена зависимость
напряженности E и потенциала φ от расстояния
между плоскостями.
• При x1 = 0
и x2 = d
d
2 1
0
E
| |
0
24

25. 3.7.2. Разность потенциалов между точками поля, образованного бесконечно длинной цилиндрической поверхностью

• С помощью теоремы Остроградского-Гаусса мы
показали, что
0
внутри
цилиндра,
так
как
внутри
нет
зарядов
q
E
или
на поверхности цилиндра
2 0 Rl
2 0 R
q
или
вне цилиндра.
2 0 rl
2 0 r
25

26.

• Тогда, т.к.
d Edr;
dr
1 d 2 0 r r
2
r2
1
• отсюда следует, что разность потенциалов в
произвольных точках 1 и 2 будет равна:
r2
q
r2
2 1
ln
ln
2 0 r1
2 0l r1
• ln 1 const на поверхности и внутри цилиндра
2 0 R
ln r вне цилиндра.
2 0 R
26

27.

1
2 ln R const внутри и на поверхности цилиндра
0
ln r вне цилиндра.
2 0 R
27

28. 3.7.3. Разность потенциалов между обкладками цилиндрического конденсатора


0 внутри меньшего и вне большего цилиндров зарядов нет
E
2 r между цилиндрами, когда R1 r R2 .
0
28

29.

• Т.к.
d Edr
, то
r2
2 1
ln
2 0 r1
R2
2 ln R const внутри меньшего цилиндра (r R1 )
0
1
r
ln
между цилиндрами ( R1 r R2 )
2 0 R1
0 вне цилиндров.
29

30.

• Таким образом, внутри меньшего цилиндра имеем
, Е = 0, φ = const;
• между обкладками потенциал уменьшается по
логарифмическому закону,
• вторая обкладка (вне цилиндров) экранирует
электрическое поле и φ и Е равны нулю.
30

31. 3.7.4. Разность потенциалов заряженной сферы (пустотелой)

• Напряженность поля сферы определяется
формулой
|q|
E (r )
2
4 0 r
31

32.

d Edr
• А т.к.
, то
q dr
q 1 r2 q 1 1
1 2
,
2
4 0 r 4 0 r r1 4 0 r1 r2
r1
r2
q
т.е.
.
4 0 r
32

33.

R
q
4 R const внутри и на поверхности
0
0
q вне сферы (r R).
4 0 r
33

34. 3.7.5. Разность потенциалов внутри диэлектрического заряженного шара

• Имеем диэлектрический шар заряженный с
объемной плотностью
3q
.
3
4 R
34

35.

• Напряженность поля шара, вычисленная с
помощью теоремы Остроградского-Гаусса:
qr
r
внутри шара (r R)
3
3 0
4 0 R
q
E
на поверхности шара (r R)
2
4 0 R
q
вне шара (r R).
2
4 0 r
35

36.

• Отсюда найдем разность потенциалов шара:
2 2
2 1 Edr
rdr
r2 r1
3 0 1
6 0
1
2
2
или
q(r r )
1 2
.
4 0 2 R
2
2
2
1
3
36

37.

• Потенциал шара:
3q
8 R в центре шара (r 0)
0
q
r2
3 2 внутри шара (r R )
R
8 0 R
q
на поверхности и вне шара (r R ).
4 0 r
37

38.

• Из полученных соотношений можно сделать
следующие выводы:
• С помощью теоремы Гаусса сравнительно просто
можно рассчитать Е и φ от различных заряженных
поверхностей.
• Напряженность поля в вакууме изменяется
скачком при переходе через заряженную
поверхность.
• Потенциал поля – всегда непрерывная функция
координат.
38
English     Русский Rules