МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА
МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ
СВЯЗЬ МЕЖДУ МОМЕНТОМ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ И МОМЕНТОМ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЛЮБОГО ЦЕНТРА, ЛЕЖАЩЕГО НА ЭТОЙ ОСИ
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ МОМЕНТА СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ
СЛОЖЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
СЛОЖЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
ТЕОРИЯ ПАР
ТЕОРИЯ ПАР
ТЕОРИЯ ПАР
ТЕОРИЯ ПАР
367.50K
Category: physicsphysics

Момент силы относительно центра

1. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА

Моментом силы относительно центра в пространстве (векторным
моментом) называют вектор, приложенный в этой точке, с модулем,
равным произведению модуля силы на плечо относительно данной точки
и направленный перпендикулярно плоскости, содержащей линию действия
силы и моментную точку в ту сторону, откуда поворот, вызываемый силой,
кажется происходящим против движения часовой стрелки.
1) Момент силы не изменяется при переносе силы
z
МО
по линии ее действия.
•B
k
О
j
i
r
h
•А
F
2) Момент силы равен нулю если плечо силы h=0.
F h = 2 S OAB.
y
Момент силы относительно центра
можно выразить в виде векторного
произведения:
3)
Mo ( F ) =
r F r F sin F h M O ( F ) .
x
MO (F ) r F
1

2. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ

Моментом силы относительно оси называется скалярная величина,
равная взятому со знаком «+» или « » моменту проекции этой силы на
плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси
с плоскостью.
Правило знаков: момент силы относительно оси считают положительным,
если, смотря навстречу оси, видят поворот, который стремится совершить
сила, происходящим против хода часовой стрелки и отрицательным в противном случае.
Свойства момента силы
z
относительно оси
Fz
F
А
Fxy
1) Момент силы относительно оси
не изменяется при переносе силы
по линии ее действия.
h
О
B
x
M z ( F ) Fxy h
y
2) Момент силы относительно оси
равен нулю:
а) если плечо силы h=0;
б) если сила коллинеарна оси.
3)
Mz ( F ) =
F xy h = 2 S OAB.
2

3. СВЯЗЬ МЕЖДУ МОМЕНТОМ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ И МОМЕНТОМ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЛЮБОГО ЦЕНТРА, ЛЕЖАЩЕГО НА ЭТОЙ ОСИ

z
Момент силы относительно оси
равен проекции на эту ось момента
силы относительно любого центра,
лежащего на данной оси.
MO 2
B
MO 1
O2
F
O1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
A
y
O
B1
A1
x
Fxy
M O1 ( F ) 2 S Δ AO1 B ;
M Z ( F ) 2 S Δ A1OB1 ;
S Δ A1OB1 S Δ AO1B cos ;
M Z ( F ) M O1 ( F ) cos .
3

4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ МОМЕНТА СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ

z
МО
F
О
i
x
r
j
y
z
x
j
k
M 0 (F ) r F x
y
z
Fx
Fy
Fz
( yFz zFy ) i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx ) k .
•А
k
i
M 0 (F ) M X i M Y j M Z k .
y
M x y Fz z Fy ,
M y z Fx x Fz ,
M z x Fy y Fx .
4

5. СЛОЖЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ

1) Силы направлены в одну сторону
P1
O
P1 P2 , P1 P2 ;
P2
( F1 , F2 , P1 , P2 ) ~ ( F1 , F2 ) , ( P1 , P2 ) ~ 0;
R2
F2
( F1 , F2 , P1 , P2 ) ~ ( R1 , R2 );
R1
F1
P1
C
A
B
F2
R1
R F1 F2 , R F1 F2 .
P2
R2
AOC ~ F1 P1R1
F1
R
Равнодействующая двух параллельных
сил, направленных в одну сторону, им
параллельна, направлена в ту же сторону и
равна по модулю сумме модулей слагаемых
сил, а ее линия действия проходит между
линиями действия слагаемых сил и делит
расстояние между ними на части обратно
пропорциональные модулям этих сил.
AC
P1
OC
OC
F1
;
OC P1 AC F1 ;
BOC
~ F2 P2 R2
BC
P2
F2
;
OC P2 BC F2 ;
AC F2
F1 AC F2 BC
.
BC F1
5

6. СЛОЖЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ

2) Силы направлены в противоположные стороны. ( F1 F2 )
F2
C
A
•B
Q = - F2
R
R F1 F2 ;
F2
F2
AC F2
AC AB
AB
.
AB
R
R
F1 F2
F1
Равнодействующая двух антипараллельных сил равна по модулю разности модулей
этих сил, им параллельна и направлена в ту же сторону большей силы, а ее линия
действия делит расстояние между линиями действия слагаемых сил внешним образом
на части обратно пропорциональные модулям этих сил.
Важно заметить, что при
F2 F1 AC , R 0 .
Таким образом, действие на тело двух равных по модулю антипараллельных сил не может
быть заменено действием лишь одной силы. Вместе с тем эти силы не находятся в равновесии т.к. не удовлетворяют условию Аксиомы l статики. Следовательно, данная система сил
должна изучаться особо, как самостоятельный элемент статики.
6

7. ТЕОРИЯ ПАР

Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных
и направленных в противоположные стороны сил, действующих на АТТ.
Плоскость, проходящая через линии действия сил пары, называется
плоскостью действия пары.
Плечом пары d называется кратчайшее расстояние между линиями
действия сил пары.
Пара сил, действующая на твердое тело, может вызвать его вращение.
Вращательный эффект, создаваемый парой, зависит от:
величины момента пары, равного произведению модуля одной из сил
пары на ее плечо;
плоскости действия пары;
направления поворота, вызываемого парой в плоскости ее действия.
Все эти характеристики действия пары сил можно задать одновременно
вводя вектор-момент пары, модуль которого равен моменту пары,
направив его перпендикулярно плоскости действия пары в ту сторону
откуда поворот, вызываемый парой кажется происходящим против хода
часовой стрелки.
7

8. ТЕОРИЯ ПАР

Момент пары сил можно представить в виде векторного произведения:
М
B
F
d
A
P d1
D
F1
C
P1
М1
M F d F1 d
M 1 P d1 P1 d1
F
M
A
d
B
α
M AB F BA F1
AB F AB F sin
F d M ,
здесь А, В – произвольные точки,
лежащие на линиях действия
сил пары.
Замечание. Момент пары сил в
отличие от момента силы не связан
ни с какой точкой пространства.
Теорема.
Момент пары сил равен векторной
сумме моментов сил пары относительно любой точки пространства.
Доказательство:
M O ( F ) M O ( F1 ) OB F OA F1
(OB OA) F AB F M .
F1
O
Замечание. Момент пары сил –
вектор свободный.
8

9. ТЕОРИЯ ПАР

ТЕОРЕМЫ ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ПАР
Теорема 1.
Не изменяя механического действия пары сил на свободное АТТ ее
можно переносить и как угодно поворачивать в плоскости действия.
Теорема 2.
Не изменяя механического действия пары сил на свободное АТТ ее
можно переносить в любую плоскость параллельную плоскости действия
пары.
Теорема 3.
Не изменяя механического действия пары сил на свободное АТТ можно
произвольным образом изменять модули сил пары и ее плечо, сохранив
неизменным их произведение (величину момента пары).
Теорема 4.
Действие системы пар сил на свободное АТТ эквивалентно действию
одной пары с моментом равным векторной сумме моментов пар системы.
M M1 M 2
n
Mn Mk .
k 1
9

10. ТЕОРИЯ ПАР

УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ ПАР СИЛ
Для равновесия системы пар необходимо и достаточно, чтобы
геометрическая сумма моментов всех пар системы равнялась нулю.
n
M M k M1 M 2
k 1
M n 0.
Условия равновесия системы пар сил:
аналитическая форма
геометрическая форма
M2
M3
M1
M=0
M4
O
Mn
M kx 0,
M ky 0,
M kz 0.
Mk
Для равновесия системы пар сил
многоугольник, построенный на моментах
пар системы, должен быть замкнут!
10
English     Русский Rules