Основные геометрические приложения определенного интеграла
Понятие определенного интеграла
Понятие определенного интеграла
Понятие правильных плоских фигур
Вычисление площади криволинейной трапеции
Вычисление площади криволинейной трапеции
Вычисление площади криволинейной трапеции
Вычисление площади плоской фигуры в декартовых координатах
Вычисление площади плоской фигуры в декартовых координатах
Вычисление площади плоской фигуры в декартовых координатах
Вычисление площади плоской фигуры в полярных координатах
Вычисление площади криволинейного сектора
Вычисление площади криволинейного сектора
Вычисление площади криволинейного сектора
Вычисление объема тела вращения
Вычисление объема тела вращения вокруг оси Ox
Вычисление объема тела вращения вокруг оси Oy
Иллюстрация к вычислению объёма тела вращения
Вычисление длины дуги плоской кривой
Определение длины дуги плоской кривой
Вычисление длины дуги линии y=y(x)
Формулы для вычисления длины дуги при различных способах ее задания
1.81M
Category: mathematicsmathematics

Основные геометрические приложения определенного интеграла

1. Основные геометрические приложения определенного интеграла

МГТУ, кафедра Высшей математики и
программного обеспечения ЭВМ
Дисциплина «Математический анализ»
Основные геометрические
приложения определенного
интеграла
Авторы: Кацуба В.С., к.ф.-м.н., доцент
Скрябин А.В., ст. преподаватель

2. Понятие определенного интеграла

y
y = f(x)
f( xn)
f( xk)
f( x2)
f( x1)
x1
a = x0
0
x1
x1
x2
x2
x2
xk-1
b = xn
xk
xk
xk
x n
xn
x

3. Понятие определенного интеграла

4. Понятие правильных плоских фигур

y
y
0
x
0
x
y
0
x

5. Вычисление площади криволинейной трапеции

y
y f (x)
b
F f ( x)dx
a
F
a
0
здесь f ( x) 0 x [a; b]
b
x
y f ( x)
y
F
0
a
b
b
a
a
F f ( x)dx f ( x)dx
b
x
F
здесь f ( x) 0 x [a; b]
y f (x)

6. Вычисление площади криволинейной трапеции

b
F f ( x)dx
a

7. Вычисление площади криволинейной трапеции

2
F x 2 dx
0

8. Вычисление площади плоской фигуры в декартовых координатах

y f 2 ( x)
y
b
F f 2 ( x) f1 ( x ) dx
F
a
y f1 ( x)
здесь
0
y
a
x
b
x 1 ( y)
f 2 ( x) f1 ( x) x [a; b]
x 2 ( y)
d
d
F
F 2 ( y ) 1 ( y ) dy
c
c
0
x
здесь
2 ( y) 1 ( y) y [c; d ]

9. Вычисление площади плоской фигуры в декартовых координатах

b
F f 2 ( x) f1 ( x ) dx
a

10. Вычисление площади плоской фигуры в декартовых координатах

d
F 2 ( y ) 1 ( y ) dy
c

11. Вычисление площади плоской фигуры в полярных координатах

φ=β
ρ=ρ(φ)
φ=α
α
β
ρ
0
Fкриволинейного сектора
1
2
( ) d
2

12. Вычисление площади криволинейного сектора

k
k

13. Вычисление площади криволинейного сектора

14. Вычисление площади криволинейного сектора

N
k=1

15. Вычисление объема тела вращения

Телом вращения называется тело, получающееся при вращении
плоской фигуры вокруг фиксированной оси.
Простейшие известные тела вращения – это круговой цилиндр и круговой
конус:
h
h
R
R
Vцилиндра R h
2
Vконуса
1 2
R h
3

16. Вычисление объема тела вращения вокруг оси Ox

xk
y
y( xk )
y = y(x)
0
a
b
xk-1 xk xk
x
V y x
k
k
n
Vx lim Vk
0
k 1
2
k
b
Vx y x dx
a
2
x

17. Вычисление объема тела вращения вокруг оси Oy

y
d
yk
x = x(y)
lk
c
x( yk )
0
Vk x( yk ) 2 yk
n
Vk
Vy lim
0
k 1
d
x
Vy x y dy
c
2

18. Иллюстрация к вычислению объёма тела вращения

19.

20. Вычисление длины дуги плоской кривой

Длиной l дуги плоской линии называется предел, к которому стремится
длина вписанной в дугу ломаной при условии, что длина отрезка
наибольшего звена ломаной стремится нулю:
l AB
n
lk ,
max l 0
lim
n — количество звеньев ломаной,
k
k 1
lk M k 1M k — длина отрезка k-го звена ломаной.
lk

21. Определение длины дуги плоской кривой

l AB
n
lk
max l 0
lim
k
k 1

22. Вычисление длины дуги линии y=y(x)

Δlk
Δyk
Δyk
Δxk
a
l x 2 y 2
k
k
k
yk y x (ck ) xk
lk 1 y x (ck ) xk
2
b
Δxk
b
l AB 1 ( y x ) 2 dx
a

23. Формулы для вычисления длины дуги при различных способах ее задания

b
Если AB: y = y(x), x [a;b], то l AB 1 ( y x ) 2 dx
a
d
Если AB: x = x(y), y [c;d], то l AB ( x y ) 2 1 dy
c
x x(t )
Если AB:
, t [ ; ], то lAB ( xt )2 ( yt )2 dt
y y (t )
Если AB: = ( ), [ ; ], то l AB ( )2 2 d
English     Русский Rules