МОДЕЛИ, ОПИСЫВАЕМЫЕ СИСТЕМАМИ ДВУХ АВТОНОМНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Фазовая плоскость
Фазовый портрет
Метод изоклин
Главные изоклины
Фазовые траектории системы
Устойчивость стационарного состояния
Линейные системы
Корни λ1, λ2
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ
Грубые системы
Кинетические уравнения
Модель «хищник-жертва»
ПРОБЛЕМА БЫСТРЫХ И МЕДЛЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Средние, быстрые и медленные времена
Бифуркации динамических систем
Бифуркация седло-узел
Основные бифуркации
МУЛЬТИСТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ
Уравнения триггерных систем
Параметрическое переключение триггеров
КОЛЕБАНИЯ В БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Закритическая бифуркация
Фазовый портрет системы
ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС Лоренца
Анализ устойчивости траекторий
Линейный анализ устойчивости траекторий
Разные типы аттракторов
Квазистохастические изменения численностей
546.50K
Category: mathematicsmathematics

Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений

1. МОДЕЛИ, ОПИСЫВАЕМЫЕ СИСТЕМАМИ ДВУХ АВТОНОМНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

2. Фазовая плоскость

• качественное моделирование свойств биологических
систем получено на моделях из двух
дифференциальных уравнений с помощью метода
фазовой плоскости.
dx
P( x , y ),
dt
dy
Q( x , y ).
dt
Каждая точка М этой
плоскости
соответствует
определенному
состоянию системы.

3. Фазовый портрет

• Для изображения фазового
портрета необходимо
построить векторное поле
направлений траекторий
системы в каждой точке
фазовой плоскости. Задавая
приращение t>0, получим
соответствующие
приращения x и y из
выражений:
• x=P(x,y) t,
• y=Q(x,y) t.
dy Q( x , y )
dx P( x , y )
y
y
x
y
y
x
x
x
P(x,y)>0,
Q(x,y)>0
P(x,y)<0,
Q(x,y)<0
y
y
x
y
y
x
x
P(x,y)>0,
Q(x,y)<0
x
P(x,y)<0,
Q(x,y)>0

4. Метод изоклин

• Для построения фазового портрета пользуются методом
изоклин – на фазовой плоскости наносят линии, которые
пересекают интегральные кривые под одним определенным
углом.
• Значение А представляет собой тангенс угла наклона
касательной к фазовой траектории и может принимать значения
от – до + .
Q( x , y )
A
P( x , y )
• Это уравнение определяет в каждой точке плоскости
единственную касательную к соответствующей интегральной
кривой за исключением точки, где P (x,y) = 0, Q (x,y) = 0,
называемой – особой точкой.

5. Главные изоклины

• dy/dx=0, P(x,y)=0 – изоклина горизонтальных касательных и
• dy/dx= , Q(x,y)=0 – изоклина вертикальных касательных.
• Построив главные изоклины и найдя точку их пересечения (x,y),
координаты которой удовлетворяют условиям:
P( x , y ) 0, Q( x , y ) 0,

6. Фазовые траектории системы

• это проекции
интегральных кривых
в пространстве всех
трех измерений x, y, t
на плоскость x, y
• если условия
теоремы Коши
выполнены, то через
каждую точку
пространства x, y, t
проходит
единственная
интегральная кривая

7. Устойчивость стационарного состояния

• Для состояния равновесия
dx
0;
dt
dy
0
dt
• Состояние равновесия
устойчиво, если для любой
заданной области отклонений от
состояния равновесия ( ) можно
указать область ( ),
окружающую состояние
равновесия и обладающую тем
свойством, что ни одна
траектория, которая
начинается внутри области ,
никогда не достигнет границы .

8. Линейные системы

dx
dy
ax by ,
cx dy
dt
dt
A aA bB,
B cA dB.
t
x Ae , y Be
a
c
a d
( a d )2 4( ad bc )
1,2
2
4
d
d
1 ,
2
dt
dt
b
d
t
0
x c11e 1 t c12 e 2 t ,
y c 21e 1 t c 22 e
x y,
2t
.
x y.

9. Корни λ1, λ2

λ1, λ2 – действительны и одного знака
λ1, λ2 – комплексные сопряженные
один из характеристических корней которой равен нулю
λ1, λ2 – действительны и разных знаков
Особая точка типа седло

10. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ

• Ляпунов показал, что в большом числе случаев
анализ устойчивости стационарного состояния
нелинейной системы можно заменить анализом
устойчивости системы, линеаризованной в
окрестности стационарного состояния.
P ( x , y ) 0,
Q ( x , y ) 0.
dy Q( x, y )
.
dx P( x, y )
x x ,
y y .
d x d
P ( x , y ),
dt dt
d y d
Q( x , y ).
dt dt
d
P( x , y ) a b ( p11 2 2 p12 p 22 2 ...) ...,
dt
разложим правые части
d
Q( x , y ) c d (q11 2 2q12 q 22 2 ...) ..., уравнений в ряд Тейлора
dt

11.

• Получим систему первого приближения
1, 2
(a d ) (a d ) 2 4(ad bc)
2
d
a b ,
dt
d
c d .
dt
• если оба корня имеют отрицательную действительную
часть, то состояние равновесия устойчиво;
• если хотя бы один корень имеет положительную
действительную часть, то состояние равновесия
неустойчиво.
• Если действительные части обоих корней
характеристического уравнения равны нулю или если один
корень равен нулю, а другой отрицателен, то необходимо
рассматривать члены более высокого порядка малости в
разложении в ряд Тейлора правых частей уравнений.

12. Грубые системы

• В случае, когда оба корня характеристического уравнения
имеют отличные от нуля действительные части, уравнение
первого приближения определяют не только устойчивость
стационарного состояния, но и характер фазовых траекторий в
достаточно малой его окрестности.
• здесь возможны пять типов грубых состояний равновесия:
устойчивый узел, неустойчивый узел, устойчивый фокус,
неустойчивый фокус и седло.
[ Px ( x , y ) Qy ( x , y )]
Px ( x , y ) Qx ( x , y )
Py ( x , y ) Q y ( x , y )

13. Кинетические уравнения

• гипотетическая химическая реакция
dx
k 0 k1 xy,
dt
dy
k1 xy k 2 y ,
dt
dB
k 2 y.
dt
x
dx
0,
dt
dy
0.
dt
k 0 k1 x y 0,
k1 x y k 2 y 0.
k2
k
, y 0
k1
k2
Координаты
особой точки
2
k1k0
1 k1k0
1, 2
4k0 k1
2 k2
k2

14. Модель «хищник-жертва»

dx
x( x xy y ),
dt
dy
y ( y yx x).
dt
x
y
x
,
y
x
.
y
y y
d
dt
x
d y x
dt
y
x - жертва и y - хищников
x = 4,
xy = 0,3,
y = yx = 0,4
1, 2 i x y
x =2,
xy = 0,3,
y = yx = 0,4

15. ПРОБЛЕМА БЫСТРЫХ И МЕДЛЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ


задача моделирования
заключается в том, чтобы
построить модель
явления, содержащую
возможно меньшее число
переменных и
произвольных
параметров, и в то же
время правильно
отражающую свойства
явления.
учет временной иерархии
процессов позволяет
сократить число
дифференциальных
уравнений.

16. Средние, быстрые и медленные времена

dx
P ( x, y, z ),
dt
dy
Q ( x, y, z ),
dt
dz
F ( x, y, z ).
dt
Tx Ty Tz
.
P(x, y, z*) =0
x x ( y, z )
dy
Q( x ( y, z ), y, z ).
dt
Процесс квазистационарный
dx
P ( x, y, z * ),
dt
dy
Q ( x, y , z * ).
dt

17. Бифуркации динамических систем

• Здесь x – вектор переменных, - вектор параметров
dx
F ( x, ).
dt
F ( x, ) 0
• Зафиксируем некоторое = *, и рассмотрим фазовые портреты
системы при данном значении параметра, а также при > * и
< *.
• Фазовые портреты топологически эквивалентны, если
существует невырожденное непрерывное преобразование
координат, которое переводит все элементы одного
фазового портрета в элементы другого.

18. Бифуркация седло-узел

(а) - < * - устойчивый узел седло или узел, (б) - = * - происходит
слияние с образованием седло-узел,
(в) > * положение равновесия исчезает.

19. Основные бифуркации

а – фазовый портрет в
незаштрихованной области;
б – фазовый портрет на границе l1;
в – фазовый портрет на границе l2 ;
в – фазовый портрет в заштрихованной
области представлен двумя
устойчивыми узлами и седлом
между ними.

20. МУЛЬТИСТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ

• Важная особенность биологических систем – переключение из
одного режима функционирования в другой.
• Сон и бодрствование – это разные типы метаболизма.
Переключение происходит периодически и синхронизируется
геофизическим ритмом.
• Дифференцировка тканей – клетки получаются путем деления
из одного типа клеток, но впоследствии каждая выполняет свои
функции.
Фазовый портрет триггерной системы

21. Уравнения триггерных систем

dx
1 x x x ax 2 ,
1 1 2
1
dt
dx
2 x x x ax 2 .
2 1 2
2
dt
x1=x2=0 – неустойчивый узел;
x1 x 2
x1
1
1 a
1
, x2 0
a
x1 0, x 2
1
,
a
– седло
– устойчивый узел;
– устойчивый узел
dx
y,
dt
dy
ay b( x x 3 )
dt

22. Параметрическое переключение триггеров

• При таком способе переключения непосредственному
воздействию подвергаются не переменные, а параметры
системы. Это может быть достигнуто разными способами,
например, изменением скорости поступления субстрата,
температуры, рН.

23. КОЛЕБАНИЯ В БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Устойчивый (а) и неустойчивые (б и в) предельные циклы на фазовой плоскости
dx
y x [1 ( x 2 y 2 )],
dt

24. Закритическая бифуркация

dr
r ( c r 2 )],
dt
d
2 .
dt

25. Фазовый портрет системы

7
(1 )
8
dx
x 2 (1 ) xy ,
dt
dy 1
(7 x 2 y 2 6 xy) .
dt 7
7
(1 )
8
а – стационарное состояние (1,1) – устойчивый фокус. б – (1,1) –
неустойчивый фокус, жирная кривая – предельный цикл

26. ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС Лоренца

x y x,
y rx y xz,
z xy bz.

27. Анализ устойчивости траекторий

• Поиск «хаотического аттрактора».
Вид проекций фазовой траектории
на странном аттракторе в
системе Ресслера.
x ( x y ),
y x y,
z z ( x ).

28. Линейный анализ устойчивости траекторий

• Для общей характеристики устойчивости траектории
по отношению к возмущению вдоль i-го собственного
вектора используют величину, называемую
характеристическим показателем Ляпунова:
1
i lim
ln y i (t ) .
t t t 0
• Таким образом – это усредненное вдоль
исследуемой траектории значение действительной
части собственного значения i матрицы
линеаризации.

29. Разные типы аттракторов

Биологические системы
по своей природе являются
диссипативными.
Поэтому их модели
принципиально
нелинейны.
V (t ) V (t 0 ) exp[( t t 0 )divF( x(t ))]

30. Квазистохастические изменения численностей

Система, описывающая взаимодействие трех видов: хищник - две жертвы.
При уменьшении параметра скорости роста первой жертвы происходит
усложнение траектории (последовательное удвоение предельного цикла) а
г. Колебательная динамика переходит в квазистохастическую
English     Русский Rules