Логарифмы и их свойства

1.

ЛОГАРИФМЫ
И
ИХ
СВОЙСТВА.
Возведение в степень имеет два обратных действия. Если
а х = b,
(1)
a есть одно обратное действие – извлечение
корня; нахождение же b – другое,
то отыскание
л о г а р и ф м и р о в а н и е.
Для чего были придуманы
логарифмы ?
Конечно, для ускорения и упрощения
вычислений.

2.

Изобретатель первых логарифмических таблиц,
Непер, так говорил о своих побуждениях:
Непер
«Я старался, насколько мог и умел,
отделаться от трудности и скуки
вычислений, докучность которых
обычно отпугивает весьма многих от
изучения математики».
Современник Непера, Бригг, прославившийся
позднее изобретением десятичных
логарифмов, писал, получив сочинение
Непера:
«Своими новыми и удивительными логарифмами Непер
заставил меня усиленно работать и головой и руками. Я
надеюсь увидеть его летом, так как никогда не читал книги,
которая нравилась бы мне больше и приводила бы в
большее изумление».

3.

Бригг осуществил свое намерение и направился в Шотландию,
чтобы посетить изобретателя логарифмов. При встрече Бригг
сказал:
«Милорд, я предпринял это долгое путешествие только для
того, чтобы видеть Вашу особу и узнать, с помощью какого
инструмента разума и изобретательности Вы пришли впервые
к мысли об этом превосходном пособии для астрономов, а
именно – логарифмах; но, милорд, после того, как Вы нашли
их, я удивляюсь, почему никто не нашел их раньше, настолько
легкими они кажутся после того, как о них узнаёшь».
Великий математик говорил об астрономах, так как им
приходится делать особенно сложные и утомительные
вычисления. Но слова его с полным правом могут быть
отнесены ко всем вообще, кому приходится иметь дело с
числовыми выкладками.

4.

4
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е.
b по основанию a называется показатель
степени, в которую нужно возвести основание a, чтобы
получить b (где а> 0, а≠1).
Логарифмом числа
Вспомните уравнение из первого слайда:
ах=b
Мы оговорили, что нахождение b – логарифмирование. Математики
договорились записывать это так:
Log
a
b=x
(читается: «логарифм b по основанию a»).
Например,
log 5 25 = 2, так как 5 2 = 25.
Log 4 (1/16) = - 2, так как 4
Log
1/3
Log
81
-2
27 = - 3, так как (1/3)
9 = ½, так как 81
½
= 1/16.
–3
= 9.
= 27.

5.

Вычислить:
Log 2 16;
log 2 64;
log 2 2;
Log 2 1 ;
log 2 (1/2);
log 2 (1/8);
Log 3 27;
log 3 81;
log 3 3;
Log 3 1;
log 3 (1/9);
log 3 (1/3);
Log1/2 1/32;
Log0,5 (1/2);
log1/2 4;
log0,5 1;
log0,5 0,125;
log1/2 2.

6.

Правильное решение примеров 1 столбца:
Log 2 16 = 4, так как 2 4 = 16.
Log 2 1 = 0, так как 2 0 = 1.
Log 3 27 = 3, так как 3 3 = 27.
Log
½
1/32 = 5, так как (1/2) 5 = 1/32.
Log
0,5
(1/2) = 1, так как (0,5) 1 = (1/2)1 = ½.

7.

Определение логарифма можно записать так:
a log a b = b
Это равенство справедливо при b>0, а>0, а≠1. Его обычно называют
основным логарифмическим тождеством.
Например: 2
log
2
6
= 6;
3
– 2 log3 5
= (3
log 3 5
)
Вычислите:
3
log
5
log
10
8
3
18;
3
5
16;
0,3
log
log
2
10
5;
2;
5log
3
2;
2log
0,3
(1/4)
log
9
12.
log
3
6;
(1/4)
6;
–2
=5
–2
= 1/25.

8.

Правильное выполнение некоторых заданий.
По основному логарифмическому тождеству 3
8log 2 5 = (2 3 ) log 2 5 = 2
0,3
2log
0,3
6
= 0,3
log
0,3
6
2
3log
= 0,3
2
log
5
0,3
=(2
36
log
= 36.
2
5
log
3
18
= 18
) 3 = 5 3 = 125

9.

СВОЙСТВА
ЛОГАРИФМОВ.
Log a 1 = 0; log a a = 1; log a (1/a) = - 1; log a a
Log
a
m
m
= m;
a = 1/m.
ОСНОВНЫЕ
СООТНОШЕНИЯ
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ
СООТНОШЕНИЯ
Логарифм произведения:
Log c (ab) = log ca + log c b.
Логарифм частного:
Log c (a/b) = log c a – log c b.
Логарифм степени:
Log c a k = k log c a.
Переход к новому
основанию:
Log b a = log c a / log c b.
Log a b = 1/ log b a,
Log
a
m
b n = n/m (log a b).

10.

Приведем примеры применения формул:
1) Log 6 18 + log 6 2 = log 6 (18·2) = log 6 36 = 2
2) Log
12
48 – log
12
4 = log
12
(48/4) = log
12
А здесь выполните вычисления самостоятельно:
Log
10
5 + log
10
2;
Log
12
2 + log
12
72;
Log 2 15 – log 2 (15/16);
Log1/3 54 – log1/3 2;
Log 5 75 – log 5 3;
Log 8 (1/16) – log 8 32;
Log 8 12 – log 8 15 + log 8 20;
Log 9 15 + log 9 18 – log 9 10;
12 = 1

11.

Примеры выполнения некоторых заданий… И таблица ответов:
Log
10
Log
1/3
5 + log
10
54 – log
2 = log
1/3
10
2 = log
(5 . 2) = log
1/3
10
(54/2) = log
10 = 1
1/3
27 = -3
Log 8 12 – log 8 15 + log 8 20 = log 8(12/15) + log 8 20 =
= log 8 (4/5 . 20) = log 8 16 = 2
1
2
4
-3
2
-3
4/3
3/2

12.

Домашнее задание к уроку на тему «Логарифмы, свойства
логарифмов»
Учебник «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс авторы Ш.А.
Алимов, Ю.М. Колягин М.: Просвещение, 1994г