Числовые характеристики ССВ
Начальные моменты
Центральные моменты
Ковариация
Ковариация
Вычисление ковариации
Коэффициент корреляции
Свойства математического ожидания
Свойства дисперсии
Доказательство свойства Д2
Свойства коэффициента корреляции
Доказательство свойства К2
Доказательство свойства К3
Доказательство свойства К3
Числовые характеристики ССВ
351.00K
Category: mathematicsmathematics

Числовые характеристики ССВ. (Лекция 8)

1. Числовые характеристики ССВ

Начальные моменты
r
mr ,s M X Y
s
Центральные моменты
r ,s M
X Y
r
s

2. Начальные моменты

r
mr ,s M X Y
ДСВ
r
i
x
i
s
НСВ
s
k
y pik
r s
x
y f x, y dx dy
k
m2,0 M X 2Y 0 m2 X
m1,0 M X 1Y 0 M X
m0,1 M X 0Y 1 M Y
m0,2 M X 0Y 2 m2 Y
1 1
m1,1 M X Y M XY

3. Центральные моменты

X X mX
r ,s M
X Y
r
s
Y Y mY
ДСВ
НСВ
r y m s p
x
m
i
k
ik
X
Y
r
s
x
m
y
m
f x, y dx dy
X
Y
i k
D
1,0 M X m X 0
2 , 0 M X m X
0,1 M Y mY 0
2
X
0, 2 M Y m Y DY
2
1,1 M X 1 Y 1 M X m X Y mY

4. Ковариация

M X m Y m
1,1 M X
1Y1
X
Y
соv ( X , Y )
Теорема 1 Если СВ X и Y независимы, то
соv ( X , Y ) 0
Доказательство. СВ X и Y независимы
f x , y f X x f Y y
соv ( X , Y )
x m X y mY f x, y dx dy
x m X y mY f X x f Y y dx dy

5. Ковариация

M X m Y m
1,1 M X
1Y1
X
соv ( X , Y )
Y
Теорема 1 Если СВ X и Y независимы, то
соv ( X , Y ) 0
Доказательство
соv ( X , Y )
x m X f X x dx y mY f Y y dy
M X m X M Y mY 0

6. Вычисление ковариации

соv ( X , Y ) M X m Y m
X
Y
M XY m X Y Xm Y m X m Y
M XY m X m Y
соv( X ,Y ) M XY m X m Y

7. Коэффициент корреляции

r XY
соv( X ,Y )
X Y
Определение. СВ X и Y называются
некоррелированными, если
r XY 0
Теорема 1' Если СВ X и Y независимы, то
они некоррелированы
H3 HK
HK H3

8. Свойства математического ожидания

М1
M a bX a bM X
М2
M X Y M X M Y
М3
M XY m X mY соv ( X , Y )
Следствие из М3. Если X и Y некоррелированы, то
M XY m X m Y

9. Свойства дисперсии

2
Д1
D(a bX ) b D X
Д2
D X Y D X D Y 2соv ( X , Y )
Д3
Если X и Y независимы, то
2
2
X
Y
D XY D X D Y m D Y m D X
Следствие из Д2. Если X и Y некоррелированы, то
D X Y D X D Y

10. Доказательство свойства Д2

Д2
D X Y D X D Y 2соv ( X , Y )
X Y M X Y
M X M X Y M Y
2
D X Y M
2
2
2
M X 2 X Y Y
M X Y
2
2
M X
2 M X Y M Y
D X 2соv( X ,Y ) D Y
2

11. Свойства коэффициента корреляции

r XY
К1
К2
К3
соv( X ,Y )
X Y
Если X и Y независимы, то
r XY 0
r XY 1
Y a bX r
XY
1, b 0
1, b 0

12. Доказательство свойства К2

r XY 1
К2
*
*
M X 0 X 1
* *
cov X ,Y r XY
* *
*
*
* *
D X Y D X D Y 2cov X ,Y
X mX
X
X
*
2 1 r XY 0
1 r XY 0
1 r XY 0
r XY 1
r XY 1

13. Доказательство свойства К3

К3 Покажем,что
Y a bX
M Y a bM X
1, b 0
rXY
1, b 0
2
D Y b D X
cov( X , Y ) M ( X m X Y mY )
r
D X DY
DX DY
XY
2
b M ( X m X ) b D X
b
2
b D X b
D X b D X

14. Доказательство свойства К3

К3
Покажем,что
rXY 1
Y a bX
*
*
D X Y 2 1 rXY
rXY 1
*
*
D X Y 0 M X
*
*
*
*
*
*
Y с
с M X Y M X M Y 0
* *
X Y 0
Y mY X m X
Y
X
Y mY Y X m X
X

15. Числовые характеристики ССВ

Ковариационная матрица
системы n случайных величин
( X1, X 2 ,..., X n )
m m X , m X ,...m X
1
2
2
1
соv ( X1, X 2 )
2
соv ( X 2 , X1)
2
K
...
...
соv ( X , X ) соv ( X , X )
n 1
n 2
n
... соv ( X1, X n )
... соv ( X 2 , X n )
...
...
2
...
n
English     Русский Rules