Различные виды уравнения прямой на плоскости
1.Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
Уравнение прямой, проходящей через точку М1(х1;у1) с заданным угловым коэффициентом k, при
Уравнение прямой, проходящей через точку М1(х1;у1), но не имеющей углового коэффициента, при
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М1(х1;у1) и М2(х2;у2)
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М1(х1;у1) и М2(х2;у2)
Общее уравнение прямой на плоскости:
1. Угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки М1(х1;у1) и М2(х2;у2)
2. Острый угол φ между прямыми, заданными уравнениями
3. Точка пересечения прямых, заданных общими уравнениями
4. Координаты x0 ,y0 середины отрезка M1 , M2 между точками М1(х1;у1) и М2(х2;у2)
5. Расстояние |M1M2| между точками М1(х1;у1) и М2(х2;у2)
6. Необходимое и достаточное условие параллельности двух прямых
7. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых
Примеры:
Примеры:
Примеры:
Примеры:
Нормальный вектор прямой
Нормальный вектор прямой
Расстояние от точки до прямой
Расстояние от точки до прямой
Кривые второго порядка
Кривые второго порядка
Кривые второго порядка
Кривые второго порядка
Кривые второго порядка
Кривые второго порядка
Кривые второго порядка
Кривые второго порядка
Кривые второго порядка
Кривые второго порядка
Кривые второго порядка
Кривые второго порядка
Кривые второго порядка
1.77M
Category: mathematicsmathematics

Различные виды уравнения прямой на плоскости

1. Различные виды уравнения прямой на плоскости

y=kx+b
y y1
y 2 y1
Различные виды
уравнения прямой на
x x
,
плоскости
x x
1
2
1
y y1 k x x1

2. 1.Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

y=kx+b
y
k- угловой
коэффициент
прямой
b
α
o
x
k tg
α - угол наклона прямой к оси Ох, где
0
2
b - ордината точки пересечения прямой
с осью Оу

3. Уравнение прямой, проходящей через точку М1(х1;у1) с заданным угловым коэффициентом k, при

y
у1
М1(х1;у1)
α
o
x1
y y1 k x x1
x
2

4. Уравнение прямой, проходящей через точку М1(х1;у1), но не имеющей углового коэффициента, при

2
y
Х=Х1
у1
М1
o
x1
x

5. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М1(х1;у1) и М2(х2;у2)

y y1
x x1
,
y 2 y1 x2 x1
если
x1 x 2 и y 1 y 2
y
y2
М2
у1
М1
o
x1
x2
x
y
x x 1 , если x 1 x 2 , но y 1 y 2
y2
М2
у1
М1
o
x1
x

6. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М1(х1;у1) и М2(х2;у2)

y
М1
y1
y y 1 , если x 1 x 2 , но y 1 y 2
o
x1
М2
x2

7. Общее уравнение прямой на плоскости:

Ax+By+C=0, где А,В,С – числа
A2 B 2 0
Если А=0 В=0 уравнение прямой принимает вид: у=у1 ,
прямая параллельна оси Ох, угловой коэффициент равен 0;
Если А=0 В=0 уравнение прямой принимает вид: х=х1,
прямая параллельна оси Oy, углового коэффициента не
имеет;
Если А=0 В=0, то уравнение прямой принимает вид:
y=kx+b, где: k=A / B

8. 1. Угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки М1(х1;у1) и М2(х2;у2)

П
Р
И
Л
О
Ж
Е
Н
И
Я
1. Угловой коэффициент прямой, проходящей
через две точки М1(х1;у1) и М2(х2;у2)
y 2 y1
k
, x1 x 2
x2 x1

9. 2. Острый угол φ между прямыми, заданными уравнениями

П
Р
И
Л
О
Ж
Е
Н
И
Я
2. Острый угол φ между прямыми,
заданными уравнениями
y=k1x+b1
и
y=k2x+b2
вычисляется по формуле:
k 2 k1
tg
1 k1 k 2

10. 3. Точка пересечения прямых, заданных общими уравнениями

П
Р
И
Л
О
Ж
Е
Н
И
Я
3. Точка пересечения прямых,
заданных общими уравнениями
A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0,
находится как решение системы:
A1 x B1 y C1 0
A2 x B2 y C 2 0.

11. 4. Координаты x0 ,y0 середины отрезка M1 , M2 между точками М1(х1;у1) и М2(х2;у2)

П
Р
И
Л
О
Ж
Е
Н
И
Я
4. Координаты x0 ,y0 середины отрезка M1 , M2
между точками М1(х1;у1) и М2(х2;у2)
x2 x1
x0
,
2
y 2 y1
y0
.
2

12. 5. Расстояние |M1M2| между точками М1(х1;у1) и М2(х2;у2)

П
Р
И
Л
О
Ж
Е
Н
И
Я
5. Расстояние |M1M2| между точками
М1(х1;у1) и М2(х2;у2)
М 1М 2
x2 x1 y 2 y1
2
2

13. 6. Необходимое и достаточное условие параллельности двух прямых

П
Р
И
Л
О
Ж
Е
Н
И
Я
6. Необходимое и достаточное
условие параллельности двух прямых
Необходимое и достаточное условие
параллельности двух прямых, имеющих
угловые коэффициенты k1 и k2 :
k1=k2

14. 7. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых

П
Р
И
Л
О
Ж
Е
Н
И
Я
7. Необходимое и достаточное условие
перпендикулярности двух прямых
Необходимое и достаточное условие
перпендикулярности двух прямых, имеющих
угловые коэффициенты k1 и k2 :
1
k2 .
k1

15. Примеры:

П р и м е р 1. Дано общее уравнение прямой:
2 x 3 y 12 0
Найти угловой коэффициент прямой.
Р е ш е н и е. Решим уравнение относительно у получим
уравнение прямой с угловым коэффициентом:
3 y 2 x 12
Отсюда заключаем:
О т в е т: 2/3
2
y x 4
3
k = 2/3 - угловой коэффициент прямой.

16. Примеры:

П р и м е р 2. Составить уравнение прямой, проходящей
через точку А(-1;3) и составляющей с осью Ох угол 135о.
Р е ш е н и е. Так как в данном случае
k=tg135o=-1 и
x1=-1, y1=3, то уравнение прямой будет иметь вид:
y-3=-1(x+1)
Отсюда получаем: у = -х+2 – искомое уравнение
прямой.
О т в е т: у = -х+2

17. Примеры:

П р и м е р 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
пересечения прямых:
x
y
1
0
параллельно прямой:
2x 3y 4 0
3x y 7 0
Р е ш е н и е. а) Найдем точку пересечения двух прямых, для этого,
решим систему уравнений:
x y 1 0
2 x 3 y 4 0,
x 7
у 6
Следовательно, искомая точка пересечения –
М1(7;-6)
б) Составим уравнение прямой, проходящей через данную точку
параллельно прямой:
3x y 7 0
М1(7;-6)

18. Примеры:

Найдем угловой коэффициент
k1 прямой:
y 3x 7 k1 3
3x y 7 0
Из условия параллельности двух прямых находим угловой
k1= k2=3
y y1 k x x1
коэффициент искомой прямой:
Пользуясь формулой:
, находим уравнение
прямой, проходящей через точку М1(7;-6) с угловым
коэффициентом
k2=3:
y 6 3 x 7 3 x y 27 0.
О т в е т:
3 x y 27 0.

19. Нормальный вектор прямой

n
l
a
Если вектор n
перпендикулярен
направляющему вектору a
прямой l , то он
называется нормальным
вектором прямой l .
Прямая задана общим
уравнением
Ax By C 0,
Тогда вектор n A, B
является нормальным вектором
этой прямой.

20. Нормальный вектор прямой

З
А
Нормальный вектор прямой
Д Найти уравнение
А
Ч
А
прямой l , которая проходит
через точку M 0 ( x0 , y0 )
и имеет нормальный вектор
n A, B .
Решение. Векторы MM 0 ( x x0 , y y0 ), n
перпендикулярны, их скалярное произведение равно
нулю: n M 0 M 0. A( x x0 ) B ( y y0 ) 0.
Это и есть искомое уравнение.

21. Расстояние от точки до прямой

Теорема. Расстояние
от точки M ( x , y )
0
0
0
до прямой, заданной
общим уравнением
Ax By C 0,
вычисляется формулой
d
Ax0 By0 C
A2 B 2
.

22. Расстояние от точки до прямой

З
А
Расстояние от точки до прямой
M 0 (1,5) до прямой,
Найти расстояние от точки
Д
заданной общим уравнением
3x 4 y 3 0
А Решение.
d
Ч
d
А
Ответ:
4.
Ax0 By0 C
A B
2
2
3 1 4 5 3
3 4
2
2
.
4.

23. Кривые второго порядка

О
К
Р
У
Ж
Н
О
С
Т
Ь
Кривые второго порядка
ОКРУЖНОСТЬ
Определение 1. Окружность – геометрическое место
точек на плоскости, равноудаленных от некоторой
точки, называемой центром.
Каноническое уравнение:
x 2 y 2 r 2 . (1)
Свойства:
1. Точка О(0;0) – центр окружности;
2. r - радиус;
3. Ox, Oy - оси симметрии;
4. График изображен на рис.1.
y
0
x
рис.1.

24. Кривые второго порядка

О
К
Р
У
Ж
Н
О
С
Т
Ь
Кривые второго порядка
Окружность, задаваемая уравнением
x x0 y y0
2
2
r 2 . (2)
обладает свойствами:
1.Точка O1 ( x1 , y1 ) центр окружности;
2. r радиус;
3. Прямые x x0 , y y0
оси симметрии;
4. График окружности (2) изображен
на рис.2 и получается из окружности с
уравнением (1) параллельным переносом
на вектор OO1 .
y
y0
0
рис.2.
01
x0

25. Кривые второго порядка

Э
л
л
и
п
с
Кривые второго порядка
Определение. Эллипс –
геометрическое место точек на
плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух
данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Эллипс –
геометрическое место точек на плоскости,
координаты которых в некоторой прямоугольной системе
координат Oxy удовлетворяет уравнению
x2 y 2
2 1
2
a
b
a b
(1)
При a b уравнение (1) является уравнением окружности
радиуса a с центром в начале координат.

26. Кривые второго порядка

Свойства:
Э
л
л
и
п
с
1. Центр эллипса точка О(0;0);
А1 a;0 , A2 a;0 , B1 0; b , B2 0; b
2. Вершины эллипса точки
3. A1 A2 2a, B1B2 2b оси эллипса;
4. a, b - полуоси эллипса;
5. Оси симметрии Оx, Oy;
F1 c;0 , F2 c;0 ,
6. Фокусы эллипса – точки,
F1 0; c , F2 0; c ,
где
если a b;
c b2 a2 ,
a b
у
где
b a
у
В1
В1
F1
А2
А2
А1
F2
F1
O
В2
x
А1
O
x
F2
В2
c a2 b2 ,
если a b;

27. Кривые второго порядка

Э
л
л
и
п
с
Эллипс, задаваемый уравнением x x0 2
обладает свойствами:
Центр эллипса точка
a
2
2
y y0
О1 x0 ; y 0 ;
2. Вершины эллипса точки
А1 х0 a; у0 , A2 х0 a; у0 , B1 х0 ; у0 b , B2 х0 ; у0 b ;
3.
A1 A2 2a, B1 B2 2b оси эллипса;
4. a, b полуоси эллипса;
5. Оси симметрии прямые
x x0 , y y 0 ;
6. Фокусы эллипса – точки
F1 х0 c; у0 , F2 х0 c; у0 , где c a 2 b 2 , если a b;
F1 х0 ; у0 c , F2 х0 ; у0 c , где c b 2 a 2 , если b a;
b
2
1, a b

28. Кривые второго порядка

Г
И
П
Е
Р
Б
О
Л
А
Определение. Гипербола – геометрическое место точек
на плоскости, для каждой из которых модуль разности
расстояний до двух данных точек, называемых
фокусами, есть величина постоянная.
Каноническое уравнение:
x2 y2
2 1
2
a
b
(а)
или
y2 x2
1.
b2 a2
(б)

29. Кривые второго порядка

Свойства:
1.
Вершины:
А1 a;0 , A2 a;0 – для гиперболы (а);
B1 0; b , B2 0; b – для гиперболы (б);
2. Полуоси:
а
b
действительная
мнимая
для гиперболы (а);
а
b
мнимая
действительная
для гиперболы (б);
3. Фокусы гиперболы: точки
F 0;
b , F 0;
для гиперболы (б);
F1 a 2 b 2 ;0 , F2 a 2 b 2 ;0 для гиперболы (а),
1
a2
2
2
a2 b2

30. Кривые второго порядка

Свойства:
4. Оси симметрии Оx,
Oy.
5. Асимптоты: прямые y
b
b
x и y x;
a
a
6. График изображен на рис. 4.
в случае (а)
y
y
в случае (б)
F1
В1
F2
А2
А1
О
F1
x
О
x
В2
F2
Рис.4

31. Кривые второго порядка

Гиперболы, задаваемые уравнениями:
x x 0 2 y y 0 2
a
2
b
2
y y0 2 x x0 2
1
b
2
a
2
1
А1 х0 a; у0 , A2 х0 a; у0 – для гиперболы (а);
Вершины:
B1 х0 ; у0 b , B2 х0 ; у0 b – для гиперболы (б);
2. Полуоси:
3.
а
b
действительная
мнимая
для гиперболы (а);
а
b
мнимая
действительная
для гиперболы (б);
Фокусы гиперболы: точки
F х ; у
, F х ; у
F1 х0 a 2 b 2 ; у 0 , F2 х0 a 2 b 2 ; у 0
1
0
0
a2 b2
4.
Оси симметрии: прямые
5.
Асимптоты:
прямые y y 0
2
0
0
a2 b2
x x0 , y y 0 .
b
( x x0 ) и
a
для (а),
для (б);

32. Кривые второго порядка

Каноническое уравнение:
Кривые второго порядка
П
А
Р
А
Б
О
Л
А
Определение. Парабола – геометрическое место точек на
плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой
фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
Каноническое уравнение:
y 2 2 px
или
x 2 2 py
где p 0 некоторое число,
называемое параметром
параболы.
Ось абсцисс Ox является
осью симметрии параболы.

33. Кривые второго порядка

П
А
Р
А
Б
О
Л
А
Свойства:
1. Вершина: О(0;0);
2.
3.
p
Фокусы параболы: F ;0 или
2
p
x
Директриса:
или
2
p
F 0;
2
p
y
2
Параболы, задаваемые уравнениями y y0
или
x x0
где
p
2
2
2 p x x0
2 p y y0 ,
некоторое число, называемое параметром параболы,
обладают свойствами:

34. Кривые второго порядка

;
П
А
Р
А
Б
О
Л
А
1. Вершина: точка О1 x0 ; y 0
2. Фокусы параболы:
3. Директриса:
4. Оси симметрии:
p
F х0 ; у 0 или
2
p
или
x х0
2
у у0
или
p
F х0 ; у 0
2
y у0
x x0
.
p
2

35. Кривые второго порядка

;
П
А
Р
А
Б
О
Л
А
Уравнение второй степени
Ax 2 Cy 2 2Dx 2Ey F 0, ( )
где числа А и С не равны одновременно нулю, преобразуется
к каноническому виду методом выделения полных квадратов и
последующим параллельным переносом.
Тип кривой определяется числами А и С:
1)
2)
3)
4)
Если А С , то ( )
– окружность;
если А С
и А С 0 то ( ) – эллипс;
если А С 0 , то ( ) – гипербола;
если одно из чисел А или С равно нулю, то – ( )
парабола.
English     Русский Rules