Метод итерации

1.

29.04.2024
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
1

2.

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
…
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
29.04.2024
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
2

3.

Обозначим:
29.04.2024
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
3

4.

x1 = α11x1 + α12x2 + … + α1nxn + β1
x2 = α21x1 + α22x2 + … + α2nxn + β2
. . . . . . . . . . . . . . . . .
xn = αn1x1 + αn2x2 + … + αnnxn + βn
29.04.2024
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
4

5.

Обозначим:
и
29.04.2024
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
5

6.

нулевое приближение
29.04.2024
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
6

7.

Итерационная последовательность
(0)
(1)
(k)
Х , Х , …, Х
29.04.2024
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
7

8.

Пример 1.
Решить систему методом итерации
2 x1 x 2 x3 1,
3x1 4 x 2 x3 2,
x1 x 2 x3 3.
Решение
x1 3x1 x2 x3 1
x2 3x1 3x2 x3 2
x3 x1 x2 3
29.04.2024
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
8

9.

x(0) (0;0;0) - нулевое приближение
(1)
3* 0 0 0 1
x2
(1)
3* 0 3* 0 0 2
x3
(1)
0 0 3
x1
x(1) (-1;-2;-3) - первое приближение
29.04.2024
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
9

10.

( 2)
3 * ( 1) ( 2) ( 3) 1
x2
( 2)
3 * ( 1) 3 * ( 2) ( 3) 2
x3
( 2)
1 ( 2 ) 3
x1
x(2) (1;-2;-2) - второе приближение
29.04.2024
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
10

11.

Условия сходимости итерационного процесса
или
29.04.2024
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
11

12.

Пример 2: Проверить
сходимость итерационного
процесса для системы.
Решение
=0+0,2+0,2=0,4<1
=0,125+0+0,2=0,325<1
=0,125+0,2+0=0,325<1
29.04.2024
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
12

13.

29.04.2024
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
13

14.

Матрица А=[aij] определяется тремя нормами:
29.04.2024
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
14

15.

Оценка погрешности приближенного
процесса метода итерации
29.04.2024
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
15

16.

Пример 3. Привести систему к нормальному виду
7,6
7,6 х1 +0,5 х2 +2,4 х3 = 1,9
9,1 х2 +4,4 х3 = 9,7
2,2 х1 +9,1
5,8 х3 = -1,4
-1,3 х1 + 0,2 х2 + 5,8
Решение.
(10-2,4) х1 +0,5 х2 +2,4 х3 = 1,9
2,2 х1 +(10-0,9) х2 +4,4 х3 = 9,7
-1,3 х1 + 0,2 х2 + (10-4,2) х3 = -1,4
29.04.2024
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
16

17.

10 х1 = 2,4 х1 -0,5 х2 -2,4 х3 + 1,9
10 х2 = -2,2 х1 +0,9 х2 -4,4 х3 + 9,7
10 х3 = 1,3 х1 - 0,2 х2 +4,2 х3 -1,4
х1 = 0,24 х1 -0,05 х2 -0,24 х3 + 0,19
х2 = -0,22 х1 +0,09 х2 -0,44 х3 + 0,97
х3 = 0,13 х1 – 0,02 х2 +0,42 х3 -0,14
29.04.2024
БИК Специальность ПОВТ
Дисциплина "Численные методы"
17