Вычисление пределов

1. Вычисление пределов

2. Вычисление пределов

lim
f
(
x
)
A
x x
Вычисление предела:
0
начинают с подстановки предельного значения x0 в функцию f(x).
Если при этом получается конечное число, то предел равен этому
числу.
12 10 4
12 5 x x
2
1) lim
2
4 5
x 5
x 2
2
2) lim ( x 2 3х 8) 16 12 8 12
x 4

3.

Если при подстановки предельного значения x0 в функцию
f(x) получаются выражения вида:
то предел будет равен:
C
0
11
11
11
3) lim
x 3 2 x 6
6 6 0
3
3
4) lim
0
x x 1
C
0

4.

Часто при подстановке предельного значения x0 в
функцию f(x) получаются выражения следующих
видов:
0
;
0
; 0 ; 1 ; 0 0 ; 0 ; 0 ;
Эти выражения называются неопределенности, а
вычисление пределов в этом случае называется
раскрытие неопределенности.

5. Раскрытие неопределенности

0
0
8 x 32
8 x 4
0
5) lim 2
lim
x 4 x x 20
x 4 x 5 x 4
0
8
8
lim
Если f(x) – дробно –
x 4 x 5
9
рациональная
функция,
необходимо разложить на
множители числитель и
знаменатель дроби
x 6х 5
0
6) lim
x 5
x 5
0
2
x 5 ( х 1)
lim
4
x 5
x 5

6.

7.

8.

7) lim
x 5
lim
x 5
x 6 1
0
lim
x 5
0 x 0
x 6 1 x 6 1
( x 5) x 6 1
Если f(x) – иррациональная
дробь, необходимо умножить
числитель и знаменатель
2 2
дроби на выражение,
x 6 1
сопряженное
числителю.
( x 5)
x 6 1
( х 5)
1
lim
x 5 ( x 5)
2
x 6 1

9.

3 x 22
0
8) lim
?
x 5
x 5
0
3
x 22 t
Заменим
3
х t 22
х
5, то t 3
3
1
1
3 x 22 lim 3 t lim
lim
t 3 3
2
t 3 t 3t 9
x 5
27
t 27
x 5
3
Вычислите самостоятельно
4
9) lim
x 5
1
x 11 2
?
32
x 5

10. Раскрытие неопределенности

4x 1 2х
4 x 1 2 х 4 x 1 2 х
lim
4x 1 2х
1
(4 x 1) (4 x ) lim
lim
4x 1 2х 4x 1 2х
2
10) lim
x
2
x
2
2Умножим и разделим
2
x
1
0
2
2
функцию на сопряженное
2
x
выражение.

11. Раскрытие неопределенности

3x 2 x 111
2 2
2
2
3x x 111
x
x
x
lim
11) lim
2
2
x
x
5x
x 5x
x
2
2
x
x
1 111 Если f(x) – дробно –
3 рациональная
2
или
3 0 0
C функция
x
x
3
0 дробь
lim
иррациональная
x
5 необходимо
1 0
разделить
1
x числитель и знаменатель
дроби на x в старшей степени

12. Первый замечательный предел

cos 2 x 1
0
12) lim
2
x
x 0
0
2
2 sin 2 x
lim
2
x 0
x
sin x 2 1 2 2
2 lim
x 0
x