Теория вероятностей

1.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Классификация различных видов событий
1) Невозможное событие – событие, которое не
может произойти.
2) Достоверное событие – событие,
которое обязательно произойдет.
3) Случайное событие – событие, которое
может произойти, а может не
произойти.
Пример: Бросают 2 кубика:
Невозможное событие – сумма цифр = 1, > 13 и т.п.
Достоверное событие – сумма цифр > 1 и < 13.
Случайное событие – сумма цифр меньше 5, сумма
цифр больше 7 и т.п.

2.

Опр-е Несовместными называются события, в которых
появление одного исключает появление другого
Пример Бросают кубик. «2» и «5» - несовместны. «1»,
«2», «3» и т.д. несовместны. А, например, «3» и «<5» –
совместны.
Опр-е События образуют полную группу, если в
результате испытания появляется хотя бы одно из них
Пример Бросают кубик. 2 события, что выпадет
четное и нечетное число образуют полную группу соб.
Опр-е События называются равновозможными, если
при большом числе испытаний частота их появления
одинакова

3.

Примеры
1. Орел – решка при подбрасывании монеты;
выпадения 1, 2, 3, 4, 5, 6 при подбрасывании
кубика.
2. <5 и >4 при бросании монеты, сдать экзамен на
2,3,4,5, попасть и не попасть под машину при
переходе улицы. (Не равновозможные)
Элементарное событие - основное понятие теории
вероятностей. (оно неразделимо на более простые )
Примеры
1. Оценки 2,3,4,5 на экзамене – простые события, а >3
- нет.
2. 1, 2, 3, 4, 5, 6 при подбрасывании кубика

4.

Определение Множество всех элементарных событий,
которые могут появиться в испытаниях, называется
пространством элементарных событий
все элементарные события попарно несовместны
Пример пространством элементарных событий на
экзамене ={2,3,4,5}

5.

Аксиомы теории вероятностей
1. Каждому событию A поставлено в соответствие
некоторое число p(A) 0, которое называется
вероятностью этого события
2. Вероятность достоверного события равна 1
(p( )=1)
3. Вероятность наступления хотя бы одного из
попарно несовместных событий равна сумме
вероятностей этих событий
Из 2 и 3 аксиом следует, что если элементарные
события равновозможны, то вероятность каждого из
них
p 1 , где N - число элементарных событий
N

6.

Комбинаторика
Перестановки
Опр-е Перестановки – это комбинации из одних и тех
же элементов, отличающиеся порядком их следования.
Число всех возможных перестановок n элементов равно
P n n ! 1 2 3 ... n
Первый элемент может занять n мест. Если первый
элемент уже занимает некоторое место, то второй
элемент может занять n-1 место. И т.д.

7.

Размещения
Определение Размещениями называют комбинации,
составленные выбором из n различных элементов m
элементов, отличающиеся либо составом элементов,
либо порядком их следования.
Число всех возможных размещений m элементов из n
n!
A
(n m )!
m
n
Первое место может быть заполнено n способами.
Второе место может быть заполнено n-1 способом. И
т.д.
n (n 1)(n 2 )
n!
(n m 2 )(n m 1)
(n m )!

8.

Сочетания
Определение Сочетаниями называются комбинации,
составленные выбором m элементов из n различных
элементов, отличающиеся только составом (но не
порядком следования).
Число всех возможных сочетаний m элементов из n
n!
C
(n
m
)!m
!
В размещениях выделим группы, отличающиеся
m
n
составом. Количество элементов в каждой группе равно
числу перестановок из m элементов. Следовательно
m
n
A
n!
C
Pm n m ! m !
m
n

9.

Выбор с возвращением
Определение Выбор с возвращением представляет
собой комбинации m элементов из n различных
элементов, отличающиеся составом или порядком
следования, причем выбранный элемент возвращается на
место (может участвовать в дальнейшем выборе)
Число возможных вариантов выбора с возвращением m
элементов из n равно n
m
Первый элемент может быть выбран n способами,
второй – тоже n способами. Следовательно два
элемента могут быть выбраны n n способами. И т.д.

10.

1. Крыловский квартет
Примеры
N Pn n ! 4 ! 1 2 3 4 24
2. В группе 20 студентов. Наугад выбирают 4-х.
Каждый из них сдает 1 экзамен. Затем всей группе
проставляются те же самые оценки
20 !
N A
17 18 19 20 116280
16 !
m
n
3. В группе 20 студентов. Наугад выбирают 4-х. Если
все вместе они весят меньше 220 кг, всей группе
ставится зачет по физкультуре
20 !
17 18 19 20
N C
4845
16 ! 4 !
2 3 4
m
n

11.

4. Группа из 20 студентов должна сдавать 4 экзамена.
Преподаватель каждой дисциплины наугад
выбирает 1студента. Затем всей группе по данной
дисциплине проставляется оценка, полученная
этим студентом
N 20 160000
4
5. В правительстве работает 7 министров. Каждый
день производится ротация. Как долго такое
правительство сможет «работать» без повторов в
расстановке министров?
N Pn 7 ! 5040 дн ей 13 л ет 295 дн ей

12.

Вычисление вероятностей
Если пр-во элементарных событий дискретно, а сами
элементарные события равновозможны, вероятность
события А определяют как отношение
NA
p A
N
где N A ..., N ...
Примеры
1. Из колоды карт (36 шт) вынули 3 карты. Какова
вероятность, что все красной масти?
A
NA A , N A p
A
16 17 18
0 ,11
34 35 36
3
18
3
36
3
18
3
36
18 ! 33 !
15 ! 36 !

13.

2. Найти вероятность того, что группе из 30 студентов
нет студентов с совпадающими днями рождения
NA A
30
365
365 !
365 364 363
( 365 30 )!
30
N 365
30
336
NA
p
N
365 1 365 2 365 3
365
365
365
29
365 29
0 , 29
365

14.

Если пространство событий не является дискретным,
вероятность события А определяют как отношение
меры части пространства элементарных событий,
благоприятствующей наступлению события А, к мере
всего пространства элементарных событий
Примеры (стрелок и мишень, молекула азота в
комнате с кислородом)

15.

Сложение вероятностей несовместных событий
Противоположные события
Определение Суммой А+В двух событий А и В
называют событие, состоящее в появлении хотя бы
одного из этих событий
Аналогично определяется сумма трех, четырех и более
событий
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из
нескольких попарно несовместных событий равна
сумме вероятностей этих событий
P A1 A 2
A n P A1 P A 2
P An
Доказательство: Следует из третьей аксиомы

16.

Теорема. Сумма вероятностей попарно
несовместных событий А1 , А2 ,…, Аn, образующих
полную группу, равна единице, то есть
P (A 1) P (A 2) P (A n ) 1
Док-во. А1+А2 +…+ Аn= след. по 2 аксиоме
P A 1 A 2 ... A n 1
По предыдущей теореме получим
P (A 1) P (A 2)
P (A n ) 1

17.

Определение Противоположными событиями
называют два несовместных события, образующих
полную группу событий
A, A
Теорема. Сумма вероятностей противоположных
событий равна единице, то есть
P A P A 1
Док-во. Следует из определения противоположных
событий и предыдущей теоремы
Пример В рассмотренной выше задаче про дни
рождения P
A 0 ,2 9 ; P A 0 ,7 1

18.

Умножение вероятностей
Условная вероятность
Определение Произведением AВ двух событий A и В
называют событие, состоящее в совместном появлении
этих событий
Произведением нескольких событий называется
событие, состоящее в появлении всех событий
Определение Условной вероятностью PA(В)
называют вероятность события В, вычисленную в
предположении, что событие A уже наступило
Пример Вероятность вытянуть второй карту красной
масти, если первая карта красная.
Экзамен с передачей шпаргалок

19.

Теорема. Вероятность совместного появления двух
событий равна произведению вероятности одного из
них на условную вероятность другого, вычисленную в
предположении, что первое уже наступило
P A B P A PA B P B PB A
Без доказательства
Следствие Вероятность совместного появления
нескольких событий равна произведению вероятности
одного из них на условные вероятности всех
остальных, причем вероятность каждого
последующего события вычисляется в
предположении, что все предыдущие уже наступили
P A 1A 2 A 3
A n P A 1 P A 1 A 2 P A 1A 2 A 3
P A 1A 2 A n 1 A n

20.

Пример Найти вероятность вынуть 10 пронумерованных шаров в порядке возрастания номера.
Комбинаторное решение задачи дает P=1/10!. Тот
же ответ получится, если применить посл. теорему
P P A 1 PA1 A 2
P A 1 ,A 2 ,A 3 , ,A 9 A 10
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
10 9 8 7 6 5 4 3 2
n!

21.

Пример Из колоды (36 шт) вынули 3 карты. Какова
вероятность, что все 3 красные?
3
Комбинаторное решение: N C ;
NA C
NA
18 ! 33 ! 3 ! 16 17 18
p
0 , 11
N 15 ! 3 ! 36 !
34 35 36
36
3
18
По теореме вероятности произведения событий
p P A 1 P A 1 A 2 P A 1A 2 A 3
1 17 16
0 ,11
2 35 34

22.

Пример Задача про дни рождения. Группа состоит из
30 студентов. Какова вероятность, что нет студентов с
совпадающими днями рождения? Комбинаторное
решение задачи дает
365 1 365 2 365 3
p
365
365
365
365 29
0 , 29
365
29
По теореме вероятности произведения событий
364 363 362
336
p 1
...
0 , 29
365 365 365
365

23.

Независимые события.
Теорема умножения для независимых событий
Определение Событие В называют независимым от
события А, если появление события А не изменяет
вероятности появления события В
Примеры …
Если В не зависит от А,
PA B P B
P A B P A PA B P B A P B PB A
Если
PA B P B PB A P A
то есть если В не зависит от А, то А не зависит от В

24.

Теорема. Вероятность совместного появления двух
независимых событий равна произведению
вероятностей каждого из них
P AB P A P B
Доказательство: Следует из определения
независимых событий и теоремы умножения
Пример Какова вероятность, что бросая монету 6 раз
мы получим чередование орла и решки?
1 1 1 1 1 1
P 1
2 2 2 2 2 32

25.

Определение Несколько событий называются
независимыми в совокупности (или просто
независимыми), если независимы каждые два из них и
независимы каждое из них и все возможные
произведения остальных
Вероятность совместного появления нескольких
независимых событий равна произведению
вероятностей этих событий
P A 1A 2
A n P A1 P A 2
P An
Замечание Если события A 1 , A 2 , , A n - независимые,
то и противоположные им события A 1 , A 2 , , A n
- независимы

26.

Замечание Если события A 1 , A 2 , , A n - независимы
в совокупности, то из определения следует их
попарная независимость, то есть любые два из них
независимы. Обратное, вообще говоря, неверно, то
есть из попарной независимости не следует их не
зависимость в совокупности.
Пусть три грани тетраэдра раскрашены в красный,
зеленый и синий цвета, а четвертая содержит все три
цвета.
P (К ) P (З ) P (С ) 1 / 2
P (К З ) 1 / 4 P (К З ) P (К )P (З )
P (К З С ) 1 / 4 P (К )P (З )P (С )

27.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного
события из независимых в совокупности событий
равна разности между единицей и произведением
вероятностей противоположных событий
P A 1 A 2 ... A n
1 P A 1 P A 2 ... P A n
Примеры Студент сдает 5 экзаменов. Вероятности их
сдать равны 0,8; 0,9; 0,7; 0,6; 0,8. Какова
вероятность не сдать хотя бы один экзамен?
P 1 0 ,8 0 ,9 0 ,7 0 ,6 0 ,8 0 ,7 6

28.

Имеется 30 экзаменационных билетов. При
вытягивании не выученного билета разрешается
вторая попытка. Сколько билетов нужно выучить,
чтобы вероятность сдать экзамен была не меньше 0,9?
30 n 29 n
P A 0 ,1 P A
0 ,1
30
29
59 349
2
n 59 n 783 0 n 1 , 2
2
n 1 2 0 ,1 5 9 ; n 2 3 8 , 8 n 2 1

29.

Два стрелка стреляют по одной мишени. У одного
вероятность попадания 0,7, у другого – 0,4. Какова
вероятность поражения цели?
P A1 A 2 1 P A1 P A 2
1 0 ,3 0 ,6 0 ,8 2
Вероятность что Петя сдаст экзамен при одной
попытке равна 0,2. Сколько попыток сдать экзамен
ему должно быть предоставлено деканатом, чтобы
вероятность сдать экзамен была не менее 0,99?
P 1 0 ,8 0 ,9 9 0 ,8 0 ,0 1
n
n
ln 0 , 01
n ln 0 , 8 ln 0 , 01 n
20 , 6 ln 0 ,8 0
ln 0 , 8

30.

Теорема сложения вероятностей совместных
событий
Теорема. : Вероятность появления хотя бы одного из
совместных событий равна сумме вероятностей этих
событий минус вероятность их совместного появления
P A B P A P B P AB
Без доказательства
Замеч. В случае несовместных событий p(AB)=0 и
мы получаем формулу для вероятности суммы
несовместных событий

31.

Примеры Даются 2 задачи. Зачет ставится при
решении хотя бы одной. Какова вероятность получить
зачет, если вероятность решить первую задачу – 0,4;
вторую – 0,7?
p 0 , 4 0 ,7 0 , 4 0 ,7 0 ,8 2
p 1 0,6 0,3 0,82
Вероятность сдать экзамен 0,5. Какова вероятность его
сдать с двух попыток?
p 0,5 0,5 0,5 0,5 0,75

32.

Формула полной вероятности и формулы Байеса
Пусть имеется полная группа несовместных событий
B1, B2,…Bn вероятности которых известны. Пусть
событие А может наступить при условии появления
одного из этих событий с известными условными
вероятностями
P B 1 ( A ) , P B 2 ( A ) , ..., P B n ( A )
Возникает вопрос, как вычислить безусловную
вероятность события А

33.

Теорема (формула полной вероятности) Пусть
B1,B2,…Bn – полная группа несовместных событий.
Тогда, если известны условные вероятности
P B 1 ( A ) , P B 2 ( A ) , ..., P B n ( A ) ,
безусловная вероятность наступления события А
может быть вычислена по формуле
P(A) P B j PB j A
n
j 1
P B1 PB1 A P B 2 PB 2 A
P B n PBn A
Без доказательства

34.

Примеры Вам надо купить определенную книгу.
Всего 3 магазина. Вероятность того, что книга будет
куплена в первом магазине – 50%, во втором – 30%, в
третьем – 20%. В первом магазине 40% книг
пиратского издания, во втором 50% пиратских книг и в
третьем – 20%. Какова вероятность, что купленная
вами книга окажется пиратского издания?
P B 1 0 , 5; P B 2 0 , 3; P B 3 0 , 2
PB1 ( A ) 0 , 4; PB 2 ( A ) 0 , 5; P B 3 ( A ) 0 , 2
P ( A ) PB1 A P B 1 PB 2 A P B 2 PB 3 A P B 3
0,5 0,4 0,3 0,5 0,2 0,2 0,39

35.

Лена сдает экзамен по математике в среду, а Катя в
четверг. Вероятность у Лены сдать экзамен 0,7. Если
Лена сдаст экзамен, она отдаст свои шпаргалки Кате, у
которой их нет. У Кати вероятность сдать экзамен без
шпаргалок – 0,8, со шпаргалками –0,1. Какова
вероятность у Кати сдать экзамен?
В1 – Катя сдает без шпаргалок, В2 – со шпаргалками
P B 1 0 , 3; P B 2 0 , 7
P B 1 ( A ) 0 , 8 ; P B 2 ( A ) 0 ,1
P ( A ) PB1 A P B 1 PB 2 A P B 2
0 , 3 0 , 8 0 , 7 0 ,1 0 , 3 1

36.

К больному с приступом аппендицита приехала скорая
помощь. В городе четыре больницы (№1, №2, №3,
№4). Вероятность попасть в первую больницу – 10%,
во вторую – 20%, в третью – 30% , в четвертую – 40%.
В первой больнице вероятность послеоперацион-ного
осложнения – 50%, во второй – 30%, в третьей – 20%,
в четвертой – 5%. Какова вероятность, что у больного
операция пройдет без осложнений?
P ( A ) P B j PB j A 0 , 1 0 , 5
4
j 1
0 , 2 0 ,7 0 ,3 0 ,8 0 , 4 0 ,9 5 0 ,8 1

37.

Теорема (формулы Байеса ) Пусть А может наступить
при условии появления одного из несовместных
событий B1,B2,…Bn, образующих полную группу.
Допустим, что произведено испытание, в результате
которого произошло событие А. Тогда вероятность
того, что при этом было реализовано событие Bi
равна
PA B i
P B i PB i A
P A
P B i PB i A
P B P A
n
j 1
j
Bj

38.

Док-во. По теореме умножения вероятностей
P A B i P A PA B i P B i PBi A
PA B i
PA B i
P B i PB i A
P A
Выражая знаменатель
по формуле полной
вероятности получим
P B i PB i A
P B i PB i A
P A
P B P A
n
j 1
j
Bj

39.

Примеры. Допустим, в задаче с аппендицитом
известно, что некоторый человек был отвезен скорой в
некоторую клинику и прооперирован удачно. Какова
вероятность того, что операция производилась в 1,2,3
и 4 клиниках? Сохраняя прежние обозначения, и
используя найденное выше Р(А)=0,81 получим
PA (B 1 )
PA (B 2 )
P (B 1 )PB 1 ( A )
P(A )
P (B 2 )PB 2 ( A )
P(A )
0 ,1 0 , 5
0 , 062
0 , 81
0, 2 0, 7
0 ,173
0 , 81

40.

PA (B 3 )
P (B 3 )PB 3 ( A )
P A (B 4 )
P (B 4 )PB 4 ( A )
P(A )
P(A )
0, 3 0,8
0 , 296
0 , 81
0 , 4 0 , 95
0 , 469
0 , 81

41.

Допустим, в задаче со сдачей экзамена Леной и Катей
известно, что Катя экзамен сдала. Какова вероятность
того, что экзамен днем раньше сдала (не сдала) Лена?
PA (B 2 )
P (B 2 )PB 2 ( A )
PA (B 1 )
P (B 1 )PB 1 ( A )
P(A )
P(A )
0 , 7 0 ,1
0 , 225
0 , 31
0, 3 0,8
0 , 774
0 , 31

42.

Допустим, в задаче с книжными магазинами Вы
купили книгу пиратского издания в одном из трех
магазинов. Какова вероятность, что в 1-ом магазине, 2ом, 3-ем?
PA (B 1 )
P (B 1 )PB 1 ( A )
PA (B 2 )
P (B 2 )PB 2 ( A )
PA (B 3 )
P (B 3 )PB 3 ( A )
P(A )
P(A )
P(A )
0, 5 0, 4
0 , 513
0 , 39
0, 3 0, 5
0 , 385
0 , 39
0, 2 0, 2
0 ,103
0 , 39

43.

Повторение испытаний. Формула Бернулли
A ; p P A ; q 1 p; n; k
Pn k C p q
k
n
k
n k
n!
k n k
p q
k !(n k )!
Пусть проводится n испытаний 1,2,3,…,n. Сколько
способов осуществления k раз события А? C
Какова вероятность каждого осуществления?
p p q
k
n k
Поэтому полная вероятность есть
Pn k C p q
k
n
k
n k
k
n

44.

n! n
n
1 . k n; Pn n C p q
p p
n !0 !
n
n
n
0
n! n
n
2 . k 0 ; Pn 0 C p q
q q
0 !n !
0
n
0
n
3 . k 1; P n 1 C p q
n 1
1
n
n!
n 1
n 1
pq npq
n 1 !1!

45.

Пример Какова вероятность, что при игре в бильярд с
равным противником вы выиграете 5 партий из 10?
p 0 , 5; q 1 p 0 , 5
10 !
10
P10 5 C 0 , 5 0 , 5
0 , 5 0 , 25
5 !5 !
5
10
5
5
Тест состоит из 10 вопросов, по 4 варианта ответа на
каждый вопрос. Один ответ верный. Какова
вероятность случайно ответить верно на 2 вопроса
p 0 , 2 5; q 1 p 0 , 7 5
10 !
2
8
P10 2 C 0 , 25 0 , 75
0 , 25 0 , 75 0 , 282
8!2!
2
10
2
8

46.

Вычисления по формулам Бернулли сложны при
большом числе испытаний.
Имеет место приближенная формула Лапласа
Pn k
1
e
2 npq
k np
2
2 npq
В задаче с тестированием по ф-ле Бернулли
P1 0 2 0 , 2 8 2
По формуле Лапласа
P10 2
2 2 ,5 2
1
e 2 10 0 , 25 0 ,75 0 , 273
2 10 0 , 25 0 , 75

47.

Интегральная теорема Лапласа
Теорема (Интегральная теорема Лапласа). Если
вероятность удачи p в каждом из n независимых
испытаний с двумя исходами постоянна и отлична от
нуля и единицы, то вероятность появления от k1 до k2
удач приближенно равна (тем точнее, чем больше n):
x2
1
x 2 /2
Pn k1 , k 2
e
dx
2 x1
x1 (k1 np) / npq
x 2 (k 2 np) / npq
x
1
x 2 /2
(x)
e
dx
2 0
Функция Лапласа

48.

( x) (x)
(x 5) 0,5
x2
x2
x1
1
1
1
x /2
x /2
x 2 /2
e
dx
e
dx
e
dx (x 2 ) (x1 )
2 x1
2 0
2 0
2
2
Pn k1 , k 2 (x 2 ) (x1 )
x1 (k1 np) / npq
x 2 (k 2 np) / npq

49.

x
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
Ф(х)
0,00
0,04
0,08
0,12
0,16
0,19
х
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
Ф(х)
0,23
0,26
0,29
0,32
0,34
0,36
х
1,2
1,3
1,4
1,5
2,0
2,5
5
Ф(х)
0,38
0,40
0,42
0,43
0,48
0,49
0,499997

50.

Пример 1. Вероятность того, что деталь будет забракована
равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 1000
случайно отобранных деталей окажется от 100 до 200
бракованных.
P1000 100, 200 (x 2 ) (x1 )
k1 np 100 1000 0, 2
x1
7,9
npq
1000 0, 2 0,8
k 2 np 200 1000 0, 2
x2
0
npq
1000 0, 2 0,8
P1000 100, 200 (0) ( 7,9) 0,5

51.

Если р<0,1, а n велико, вместо формулы Лапласа
используют формулу Пуассона
np e
Pn k
k
np
k!
Пример 100 рыбаков 1 час ловят рыбу. Р=0,01.
Какова вероятность, что они вместе поймают не более
5 рыб?
P1 0 0 k 5 P1 0 0 0 P1 0 0 1 P1 0 0 2
P1 0 0 3 P1 0 0 4 P1 0 0 5 0 , 9 9 9

52.

Случайные величины
Случайная величина: Величина, которая в результате
испытаний может принимать одно из множества
значений.
Пример 1 Бросают кубик. Случайная величина Х –
выпавшее число. Х может принимать значения
1,2,3,4,5,6.
Пример 2 Бросают 2 кубика. Случайная величина Х
– разность чисел на первом и на втором кубиках. Х
может принимать значения -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5.
Пример 3 Группа из 30 студентов сдает экзамен.
Случайная величина Х – сумма полученных баллов.
Х – натуральное число от 60 до 150.

53.

Пример 4 Стреляют из пушки. Случайная величина
Х – дальность полета снаряда.
Дискретные и непрерывные случайные величины
Закон распределения дискретной случайной
величины – соответствие между значением величины
и вероятностью появления этого значения.
Х
x1
x2
x3
x4
…
xn
p1+p2+p3+…
P
p1
p2
p3
p4
…
pn
…+pn=1
X
1
2
3
4
5
6
P
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1 кубик

54.

2 кубика разность чисел
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
Бросают 3 кубика. Х – количество выпавших шестерок
X
0
1
2
3
P
125/216
75/216
15/216
1/216

55.

Биномиальное распределение
Пусть проводится n испытаний. Событие А. p(A),
q=1-p. Случ. вел-на X – количество появлений
события А при n испытаниях.
Pn k C p q
k
n
k
n k
n!
k n k
p q
k !(n k )!
Распределение Пуассона
При больших n и малых p (p≤0,1)
np e
Pn k
k
k!
np

56.

Геометрическое распределение
Пусть проводятся испытания до первого
появления события А. p(A), q=1-p. Случ. вел-на X
– номер испытания при котором впервые
появилось событие А.
X: 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
P: p, qp, q2p, q3p, q4p, q5p, q6p …
q p 1
i
i 0

57.

Математическое ожидание дискретной случайной
величины
M X x 1 p 1 x 2 p 2 ... x n p n л и б о M X x i p i
i 0
Пример Найти мат. ожидание числа появлений
события А в одном испытании, если вероятность
А есть р.
M X 1 p 1 0 q p
Математическое ожидание числа появлений
события в одном испытании равно вероятности
этого события.

58.

Вероятностный смысл математического ожидания
Пусть проведено n испытаний в результате
которых значения равные x1 принимались m1 раз,
x2 – m2 раз и так далее. Тогда
x 1 m 1 x 2 m 2 ... x k m k
X
n
m1
m2
mk
x1
x2
... x k
n
n
n
mi
wi
Относительная частота появления xi.
n
При большом числе испытаний w i p i следовательно
X x 1p 1 x 2 p 2 ... x k p k M X
Чем больше n, тем точнее формула.

59.

Свойства математического ожидания
1). Мат. ожидание постоянной величины равно
самой величине
X : C ; P : 1; M X C 1 C
2). Пост. множ. можно выносить за знак мат.
ожидания
M C X C x 1 p 1 C x 2 p 2 . . .C x n p n
C x 1 p 1 x 2 p 2 . . .x n p n C M X
Опр. Две случ. вел. наз. независимыми, если закон
распределения одной из них не зависит от того,
какие значения приняла другая величина.

60.

Опр. Произв. незав. сл. вел. X и Y (XY) наз-ся сл-я
вел-на возможные значения которой равны пр-ю
каждого возможного зн-я X на каждое воз-е зн-е Y.
Вероятности равны соответственно xi – pi, yj – gj,
xiyj - pigj
Св-во. Мат. ож. произв. двух независимых величин
равно произведению их мат. ожиданий
M(XY)=M(X)M(Y)
Опр. Суммой двух сл. вел. X и Y (XY) наз-ся сл-я
вел-на возможные значения которой равны сумме
каждого возможного зн-я X с каждым воз-ным зн-ем
Y. Вероятности для нез. сл. вел. равны
соответственно xi – pi, yj – gj, xi+yj - pigj

61.

Св-во. Мат. ож. суммы двух величин равно сумме их
мат. ожиданий M(X+Y)=M(X)+M(Y)
Теорема Мат. ож. M(X) числа появлений события
А в n испытаниях равно M(X)=np
Дисперсия случайной величины
Пример. Петя за 5 лет обучения сдал 40 экзаменов
получив 40 четверок, Вася получил 20 троек и 20
пятерок. У обоих M(X)=4.
M(X-M(X))=0
D(X)=M((X-M(X))2)

62.

Теорема D(X)=M(X2)-(M(X))2
Док-во D(X)= M((X-M(X))2) =M(X2-2XM(X)+
+(M(X))2)=M(X2)-2M(X)M(X)+(M(X))2=
=M(X2)-(M(X))2
Св-ва
1). D(C)=0
2). D(CX)=C2D(X)
3). D(X+Y)=D(X)+D(Y) (X,Y – незав. сл. вел.)
Теорема Дисперсия числа появлений события А в
n испытаниях равна В(X)=npq

63.

Поток событий – посл. событий, наст. в
случ. моменты времени.
Стационарный - p(k) зависит только от k
и ∆t.
Интенсивность потока - среднее число
событий в единицу времени.
e t
Pt k t
k!
k

64.

Непрерывная случайная величина
Пусть X – непрерывная случайная величина,
возможные значения которой заполняют
интервал (a,b). Для дискретной случ. вел.
распределение задается таблицей
Х
x1
x2
x3
x4
…
xn
P
p1
p2
p3
p4
…
pn
Для непрерывной случ. величины X вводится
понятие функции распределения.

65.

Непрерывная случайная величина
Определение.
Функцией
распределения
непрерывной
случайной
величины
X
называют функцию F(x), определяющую
вероятность того, что случайная величина X в
результате испытания примет значений,
меньшее x, т.е. F(x)=P(X<x).
Геометрическая интерпретация
,1,00
,0,90
,0,80
,0,70
,0,60
,0,50
,0,40
,0,30
,0,20
,0,10
,0,00
,0,00
,0,50
,1,00
,1,50
,2,00
,2,50

66.

Непрерывная случайная величина
Определение. Случайную величину X
называют непрерывной, если ее функция
распределения есть непрерывная кусочнодифференцируемая функция с непрерывной
производной.
Свойства функции распределения
0 F x 1
Доказательство. F x P X x , P 0,1
Свойство 1
Свойство 2
F x Неубывающая функция

67.

Непрерывная случайная величина
Доказательство. Пусть x2 x1
A X x2 A X x1 A x1 X x2
Поскольку A X x1 è A x1 X x2
несовместны
P X x2 P X x1 P x1 X x2
F x2 F x1 P x1 X x2 0 F x2 F x1

68.

Непрерывная случайная величина
Следствие 1. Вероятность того, что случ.
величина Х примет значение в диапазоне
(a,b), равна приращению функции на этом
интервале.
P a X b F b F a
(напоминает формулу Ньютона-Лейбница)
Пример
Найти
0, x 0
F x 0,05 x, 0 x 20
1, 20 x
P 2 X 6

69.

Непрерывная случайная величина
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
P 2 X 6 F 6 F 2 0,3 0,1 0,2
Следствие 2.
Вероятность того, что
непрерывная случ. Величина Х примет одно
предельное значение равна 0.

70.

Непрерывная случайная величина
Положив в формуле P a X b F b F a
a x1; b x1 x получим
P x1 X x1 x F x1 x F x1
x 0 Так как F(x) – непрерывна, то
F x1 x F x1 0 при x 0
Замечание 1. Равенство 0 вероятности не
означает невозможности события.
Замечание 2. Нет смысла говорить о
вероятности одного значения. Надо говорить
о вероятности попадания в интервал.

71.

Непрерывная случайная величина
Свойство 3 Если возможные значения случайной
величины Х принадлежат интервалу (a,b), то
1. F x 0 , x a
2. F x 1 , x b
Доказательство. Пусть x1 a, тогда событие.
X x1 невозможное P X x1 0 F x1 0
Пусть x1 b, тогда событие X x2 достоверное
P X x2 1 F x2 1
Следствие. Если возможные значения Х – вся
числовая ось, то
lim F x 0; lim F x 1
x
x

72.

Непрерывная случайная величина
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-10
-5
0
5
10
График функции распределения
1
0
-1
1
3
5
7
9

73.

Непрерывная случайная величина
Для дискретной случайной величины график
функции распределения – ступенчатая
функция
Задача 1. P 2 X 3 ?
1
0, x 2
x 2
F x
, 2 x 4
2
1, 4 x
0.5
P 2 X 3 F 3 F 2
1
1
0
2
2
0
1
2
3
4
5

74.

Непрерывная случайная величина
Задача 2. P 0 X 1 ?
0, x 1
x 1
F x
, 1 x 2
3
1, 2 x
P 0 X 1 F 1 F 0
2 1 1
3 3 3
1
0.5
0
-2
-1
0
1
2
3

75.

Непрерывная случайная величина
Задача 3.
Х
Р
2
0,5
6
0,4
10
0,1
Построить функцию распределения

76.

Плотность рапределения вероятностей
непрерывной случайной величины
Определение. Плотностью распределения
вероятностей
непрерывной
случайной
величины называют функцию
f x F x
Из определения следует, что F x первообразная к f x Первообразная
определяется с точностью да константы, а она
задается условием xlim
F x 0
Замечание. Для дискр. сл. вел. F x
построить, а f x нет.
можно

77.

Вероятность попадания непрерывной случайной
величины в заданный интервал
b
Теорема. P a X b f x dx
a
Доказательство. По св-ву F x можно написать, что P a X b F b F a
Используя основную теорему интегрального
исчисления (ф-лу Ньютона-Лейбница)
получим
b
F b F a f x dx
a
b
P a X b f x dx
a

78.

Геометрическая интерпретация
Пример 1.
0,
f x 2 x,
0,
1
x 0
0 x 1
1 x
1
P 0,5 X 1 f x dx 2 xdx x
0,5
0,5
P 0,5 X 1 ?
21
0,5
1 0,25 0,75

79.

x 0
0 x 1
0,
x,
2
Пример 2. f x x ,
0,
5
1 x
2
5
x
2
3
3
P 0,5 X 3 2 ?
3
1,357
2
1
3
0,5
0,5
1
2
P 0,5 X 3 2 f x dx xdx x 2dx
1
1 2
1 3 32 1
1
0,75 1 4,25
x
x
0,75 2 1
2 0,5 3 1
2
3
2
3
6

80.

Свойства плотности распределения
1) f x 0
2)
f x dx 1
Нахожнение F x по f x
x
F x f x dx

81.

Пример
x a
0,
1
f x
, a x b
b a
b x
0,
x a
0,
x
x a
F x f x dx
, a x b
b a
b x
1,

82.

Пример
0,
x,
2
f x x ,
0,
x 0
0 x 1
5
1 x
2
3
5
x
2
3
1,357
x 0
0,
2
x ,
0 x 1
2
x
F x f x dx 1 x3
5
3
6 3 , 1 x 2
5
3
x
1,357
1,
2

83.

Вероятностный смысл плотности
распределения
F x f x dF x F x dx f x dx
F x x F x
P x X x x
f x x
f x x

84.

Математическое ожидание
непрерывной случайной величины
Для дискретной случайной величины
X x1
P p1
x2
p2
x3 x4 … xn
p3 p4 … pn
M x xi pi
Для непрерывной случайной величины X
n
i 1
a, b , xi , xi
n
x p x f x x
i 1
n
i
i
i 1
b
i
i
M X x f x dx
a
i
Переходя к пределу получим

85.

Математическое ожидание
непрерывной случайной величины
b
Определение.
M X x f x dx
a
Если возможные значения от минус до плюс бесконечности
M X x f x dx
Предполагается, что несобственный интеграл
абсолютно, что означает существование интеграла
M X x f x dx x f x dx
сходится

86.

Математическое ожидание
непрерывной случайной величины
Пример 1.
0,
f x 2 x,
0,
1
Решение.
x 0
0 x 1
1 x
M X ?
1
1
2 31 2
M X x f x dx x 2 xdx 2 x dx x
3 0 3
0
0
0
2

87.

Математическое ожидание
непрерывной случайной величины
Пример 2.
0,
x,
2
f x x ,
0,
3
Решение.
x 0
0 x 1
M X ?
1 x 3
5
2
5
x
2
1,357
3
5
2
1
5
2
0
0
1
3
M X x f x dx x xdx x x 2dx
4
4
1 1 5 3 1 1 5 3
1
12 4 2
3 4 2
3 1
4
3
5
2
x
x
3 0 41

88.

Дисперсия непрерывной случайной
величины
Для дискретной случайной величины
X x1
P p1
x2
p2
x3 x4 … xn
p3 p4 … pn
D X M X M X
2
n
xi M x pi
2
i 1
Для непрерывной случайной величины X по аналогии
Определение. D X M X M X
2

89.

Дисперсия непрерывной случайной
величины
Если возможные значения X принадлежат [a,b]
b
D X x M x f x dx
2
a
Если возможные значения от минус до плюс бесконечности
D X x M x f x dx
2
Как и для дискретной случайной величины можно получить
формулу

90.

Дисперсия непрерывной случайной
величины
Если возможные значения X принадлежат [a,b]
b
D X M X M X x 2 f x dx M 2 X
2
a
Если возможные значения от минус до плюс бесконечности
D X M X M X x 2 f x dx M 2 X
2
Как и для дискретной случайной
квадратичное отклонение есть
X D X
величины
среднее

91.

Дисперсия непрерывной случайной
величины
Пример 1.
Решение.
0,
f x 2 x,
0,
x 0
0 x 1
1 x
D X ?
1
1
1
0
0
0
M X x f x dx x 2 xdx 2 x 2dx
1
2 31 2
x
3 0 3
1
4
D X x f x dx M X x 2 xdx
9
0
0
2
4 1
1
2
4
x
4 1 4 1
2 x dx 2
9
4 0 9 2 9 18
0
3
2
1
1
X D X
18 3 2

92.

Равномерное распределение
Определение.
0, x a
f x C , a x b
0, b x
Найдем значение константы С.
f x dx 1 C b a 1 C
1
b a
0, x a
1
f x
, a x b
b a
0, b x

93.

Равномерное распределение
x
F x f x dx
x a
0,
x
x a
F x f x dx
, a x b
b a
b x
1,
P x1 X x2 F x1 F x1
P x1 X x2
x2 x1
b a

94.

Равномерное распределение
b
x
x
b2 a 2 b a
M X x f x dx
dx
b a
2 b a a 2 b a
2
a
a
b
b
2
b
D X x 2 f x dx M 2 X
a
b
D X x2
a
1
1 b a b a
b a
dx
b a
2 b a 3
2
2
3
3
b a
b ab a b 2ab a
3
4
12
2
2
2
2
2
b a
b a
X D X
12
2 3
2
2

95.

Показательное распределение
Определение.
0, x 0,
f x
x
e
, x 0,
f x dx 1
- параметр показательного распределения
1

96.

Показательное распределение
x
F x f x dx
x 0
0,
F x f x dx
x
1 e , x 0
x
P x1 X x2 F x1 F x1
P x1 X x2 e x1 e x2

97.

Показательное распределение
0, x 0,
f x 5 x
5 e , x 0
Пример 1.
P 1 X 2 ?
P 1 X 2 5 e 5 e 10 0,0067
Решение
0
M X x f x dx xe
x
1
dx
D X x f x dx M X x e
2
0
2
2
0
Интегрируя по частям получим
x
1
dx 2
D X
1
2
X D X
1

98.

Нормальное распределение
Определение.
1
f x
e
2
2
x a
2
2
0
f x dx 1
a, - параметры нормального распределения
a 1
2

99.

Нормальное распределение
Нормированным называется нормальное распределение с
a 0, 1
1
f x
e
2
x2
2
Если имеется нормально распределенная случайная
величина X с параметрами a и , то Y X a - нормированная нормально распределенная случайная величина.
Функция распределения для нормально распределенной
случайной величины X имеет вид
x
F x f x dx
x
1
e
2
2
x a
2 2
dx

100.

Нормальное распределение
Для нормированной нормально распределенной случайной
величины a 0, 1
F0 x
x
1
e
2
2
x
2
dx
x a
Для F0 x имеется таблица, а F x F0
, поэтому можно
вычислить по этой таблице.
M X x f x dx
z
1
xe
2
x a
x z a dx dz
x a 2
2 2
dx
Замена переменной

101.

Нормальное распределение
M X
e
z2
2
z a e
2
dz 2
z2
2
dz
1
ze
2
z2
2
dz
a
e
2
z2
2
dz
M X a
- Интеграл Пуассона
D X x a f x dx
2
Замена переменной
z
D X
1
2
x
a
e
2
2
x a
2 2
x a
x z a dx dz
dx

102.

Нормальное распределение
z2
2
2
D X
ze
2
2
D X 2
dz
Интегрируя по частям получим
X D X