Поверхности второго порядка. Эллипсоид

1. Поверхности второго порядка

2. Эллипсоид

2
2
2
x
y
z
1
.
2
2
2
a
b
c
В
сечениях
координатными
плоскостями Оху (z = 0), Oxz (y = 0)
и Oyz (x = 0) получаются эллипсы
2
2
x
y
1
,
2
2
a
b
2
2
x
z
1
,
2
2
a
c
2
2
y
z
1
.
2
2
b
c
При пересечении эллипсоида с плоскостями z = h, параллельными плоскости
Оху, получаются: при |h| < c эллипсы (с меньшими полуосями, чем при
пересечении с плоскостью Оху), при h = c — вершины эллипсоида (0; 0; ± с), при
|h| > ± c пересечений нет.
Сечения плоскостями Oxz и Oyz дают аналогичные результаты.
Четыре другие вершины эллипсоида находятся в точках (0; ± b; 0) и (± а; 0; 0).

3. Однополостный гиперболоид

2
2
2
x
y
z
1
.
2
2
2
a
b
c
В сечении координатной плоскостью
(z = 0) получается эллипс
2
2
x
y
1
,
2
2
a
b
Оху
при пересечении с плоскостями
z = h
получаются
эллипсы
c
полуосями,
увеличивающимися при увеличении | h |.
В сечениях координатными плоскостями Oxz
(y = 0) и Oyz (x = 0) получаются гиперболы
2
2
x
z
и
1
2
2
a
c
2
2
y
z
1
,
2
2
b
c
вершины которых совпадают с вершинами
эллипса в плоскости Оху.

4. Двуполостный гиперболоид

2
2
2
x
y
z
1
.
2
2
2
a
b
c
С координатной плоскостью Оху (z = 0)
пересечений нет.
При пересечении с
плоскостями z = c получаются две вершины
этого гиперболоида (0; 0; ± с). В плоскостях
z = h при | h | > c получаются эллипсы с
полуосями,
увеличивающимися
по
мере
увеличения | h |.
В сечениях координатными плоскостями Oxz
(y = 0) и Oyz (x = 0) получаются сопряженные
гиперболы
2
2
2
2
x
z
y
z
и
1
1
2
2
2
2
a
c
b
c
с вершинами в точках (0; 0; ± с).

5. Эллиптический конус

2
2
2
x
y
z
0
.
2
2
2
a
b
c
При z = 0 (в плоскости Оху) получается
одна
точка
—
вершина
конуса,
совпадающая с началом координат.
В плоскостях z = h образуются эллипсы,
вершины которых лежат на прямых
z = cx/a, получающихся в плоскости Oxz
при y = 0, и на прямых z = cx/b,
получающихся в плоскости Oуz при х = 0.
В плоскостях
x = h
и
y = h
получаются сопряженные гиперболы с
вершинами на тех же прямых.

6. Эллиптический параболоид

2
2
x
y
z 2 2.
a
b
С координатной плоскостью Оху (z = 0)
пересекается в одной точке — вершине
параболоида (0; 0; 0).
При
пересечении
с
плоскостями
z = h
(h > 0) получаются эллипсы с
полуосями, увеличивающимися по мере
увеличения h.
В сечениях координатными плоскостями
Oxz (y = 0) и Oyz (x = 0) получаются
параболы z = x 2 /a 2 и z = x 2 / b2
с
вершинами в начале координат. На этих
параболах
лежат
вершины
эллипсов,
получающихся в сечениях плоскостями
z = h (h > 0).

7. Гиперболический параболоид

2
2
x
y
z 2 2.
a
b
При
z = 0 (в
плоскости
Оху)
получаются
две
пересекающиеся
прямые
b
y x.
a
При z = h 2 образуются гиперболы, вершины которых
лежат на параболе z = x 2 /a 2, получающейся при
пересечении параболоида плоскостью Oxz (y = 0).
При z = − h 2 образуются сопряженные гиперболы,
вершины которых лежат на параболе z = − y 2 / b 2,
получающейся
при
пересечении
параболоида
плоскостью Oyz (x = 0). Вершины парабол находятся в
начале координат.

8. Гиперболический параболоид

9. Цилиндры

задаются уравнениями, в которых отсутствует какая-нибудь координата, при этом
образующие цилиндров параллельны той оси, координата которой отсутствует в
уравнении. Вид цилиндра определяется линией, получающейся в сечении
плоскостью, перпендикулярной образующим. Различают три типа цилиндров
второго порядка. Рассмотрим случаи, когда образующие параллельны оси Oz.
Эллиптический цилиндр с образующими,
параллельными оси Oz, задается уравнением
2
2
x
y
1
,
2
2
a
b
при этом как в сечении плоскостью Оху (z = 0), так
и в сечении любой плоскостью
z = h,
параллельной плоскости Оху получаются эллипсы,
определяемые тем же уравнением, что и весь
цилиндр.

10. Цилиндры

Параболический цилиндр с образующими,
параллельными оси Oz, задается уравнением
y 2 px
2
и в сечениях, параллельных плоскости Оху,
образует параболы.
Гиперболический цилиндр с
образующими,
параллельными
оси Oz, в сечениях, параллельных
плоскости
Оху,
образует
гиперболы, которые, как и весь
цилиндр, задаются уравнением
2
2
x
y
1
.
2
2
a
b