Теорема умножения вероятностей

1.

Событие А называется независимым
от события В, если вероятность
события А не зависит от того,
произошло событие В или нет.
В противоположном случае события А и В будут
называться зависимыми.

2.

В урне находятся 2 белых и один черный шар.
Пусть событие А - вынуть из урны белый
шар, и событие В - тоже вынуть белый шар.
Пока не произойдет событие В, вероятность
события А будет равна Р(А)=2/3.
Если событие В уже случилось, то Р(А)=1/2.
События А и В будут зависимыми.

3.

Вероятность события А, вычисленная при
условии, что имело место событие В,
называется условной вероятностью
события А:
Р(А/В).
В примере:
Р(А)=2/3; Р(А/В)=1/2.
Если события независимы, то Р(А)=Р(А/В).

4.

Вероятность произведения двух событий
А и В равна произведению вероятности
одного из этих событий на условную
вероятность другого, вычисленную
при условии, что первое событие
имело место:
P(AB)=P(A)P(B|A)

5.

Пусть все возможные исходы опыта сводятся к n
случаям. Предположим, что событию А
благоприятны m случаев, а событию В - k
случаев.
Так как мы не предполагали, что события А и В
несовместны,
то
существуют
случаи,
благоприятные событиям А и В вместе (l случаев).
n
m
l
k

6.

Тогда
l
P ( AB) ;
n
m
P ( A)
n
Вычислим условную вероятность события В:
Р(В/А).
Известно, что если событие А произошло, то из
ранее возможных n случаев, остаются только те
m случаев, которые благоприятны событию А.
Из них событию В будут благоприятны l
случаев.
l
Р ( В / А)
m
Получили тождество.
l
l m
n m n

7.

Следствие 1.
Если событие А не зависит от события В,
то и событие В не зависит от события А.

8.

Следствие 2.
Вероятность произведения двух
независимых событий равна
произведению вероятностей этих событий.
Р(АВ)=Р(А)Р(В)

9.

Тогда теорему об умножении вероятностей
можно обобщить на случай n независимых
событий:
n
n
i 1
i 1
P( П Ai ) П P( Ai )

10.

Студент сдает в сессию три экзамена.
Вероятность воспользоваться шпаргалкой
на первом, втором и третьем
экзамене равна соответственно,
0.4, 0.5, 0.7. Найти вероятность того,
что на всех экзаменах студенту
удастся списать.

11.

Пусть событие А1 состоит в том, что студенту
удалось списать на первом экзамене,
А2 - на втором экзамене,
А3 - на третьем экзамене.
Эти события будут независимыми. Событие А,
состоящее в том, что студент спишет на всех трех
экзаменах, выразится как произведение событий
А1 , А2 и А3 :
А=А1А2А3

12.

Тогда по теореме об умножении вероятностей
Р(А)=Р(А1)Р(А2)Р(А3)
Где Р(А1)=0.4
Р(А2)=0.5
Р(А3)=0.7
Следовательно
Р(А)=0.4*0.5*0.7=0.14

13.

В организации работает 15 служащих, из
которых 5 являются секретными
агентами ЦРУ. Руководство случайным
образом выбирает 3 человек, чтобы
отправить их в колхоз на уборку
картофеля. Найти вероятность того,
что хотя бы один агент ЦРУ будет привлечен
к сельскохозяйственным работам.

14.

1 способ.
Событие А, состоящее в том, что хотя бы один
секретный агент отправится в колхоз означает,
что произойдет одно из трех несовместных
событий:
А1 - отправят одного агента;
А2 - отправят двух агентов;
А3 - отправят трех агентов.

15.

Тогда событие А выразится через сумму событий
А1, А2, А3:
А=А1+А2+А3
По теореме о сложении вероятностей:
Р(А)=Р(А1)+Р(А2)+Р(А3)
Найдем эти вероятности.
Вероятность того, что будет отправлен один
секретный агент Р(А1):
Р(А1)=m\n.

16.

Общее число возможных случаев n будет равно
числу сочетаний из 15 элементов по 3:
n C
3
15
Число
случаев,
благоприятных
событию m выразится
данному
m C C
1
5
Тогда
2
10
C C
P( A1 )
3
C15
1
5
2
10
45
91

17.

Аналогично рассуждая, находим Р(А2) и Р(А3):
1
10
C C
P ( A2 )
3
C15
20
91
0
10
C C
P ( A3 )
3
C15
2
91
2
5
3
5
Тогда вероятность искомого события составит
45 20 2 67
P ( А)
91 91 91 91

18.

2 способ.
Для искомого события А - хотя бы один агент
поедет в колхоз, найдем противоположное
событие Ā.
Ā - ни одного агента не отправят в колхоз.
Т.к. Р(А)+Р(Ā)=1, то
Р(А)=1- Р(Ā).
Найдем вероятность Р(Ā):
C C
24
P( A )
3
C15
91
3
10
0
5
24 67
P( A) 1
91 91