Решение простейших тригонометрических уравнений

1.

Решение простейших
тригонометрических
уравнений.
Алгебра и начала анализа, 10 класс.
Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

2.

Под простейшими тригонометрическими уравнениями понимают уравнения вида:
sin t a
,где t –
выражение с
переменной,
a .
cos t a
tgt a
ctgt a

3. Вспомним определение синуса и косинуса угла поворота:

2
sint
y
1
t
0
0
sint - ордината точки поворота
t ;+
cost
x
1
cost - абсцисса точки поворота
(под «точкой поворота» следует понимать – «точку единичной
тригонометрической окружности, полученной при повороте на t радиан от
начала отсчета»)

4.

Для решения уравнения
sint=a обратимся к
тригонометрическому
кругу:
2
y
a >1
I случай. Если a [–1;1],
то уравнение sint=a не
1
имеет корней.
0
–1
1
0
–1
3
2
a <–1
2
x

5.

II случай. Если a (–1;1), то
уравнение sint=a имеет два корня
на промежутке, равном периоду
функции синус, т.е. при t [0; 2 ].
Полученные точки симметричны
относительно оси Оу. Значение одной
y из них соответствует числу arcsina, а
вторая точка имеет значение…
2
(проследите за построениями на
1
чертеже и подумайте).
a
t= –arcsina
–1
0
t=arcsina
0 x
1 2
–1
3
2
2
arcsin a;
Значит, при t [0; 2 ] мы получили два корня: t
arcsin a .

6.

Учитывая периодичность функции синус, каждую из этих точек можно получить
при добавлении целого числа полных поворотов, т.е.:
arcsin a 2 k ;
t
k ,m Z ,
arcsin a 2 m;
или
arcsin a 2k ;
t
k ,m Z..
arcsin a 2m 1 ,
Можно заметить, что при наличии знака «+» перед arcsina к нему прибавляется
четное(2k) число , а при знаке «–» перед arcsina прибавляется нечетное(2m+1)
число . Поэтому эти два равенства можно объединить в одно и записать:
t 1 ·arcsin a n, n Z..
n
Эта формула позволяет найти корни простейшего тригонометрического
уравнения sint=a в случаях, если a (–1;1).

7.

III случай. Если a= –1; 0 или 1.
При этих трех особых значениях
предыдущая формула не годится!
Для a=0 значения
соответствующих
точек равны:
t h, h Z
–1
Разберитесь с этими
тремя «особыми»
значениями и запомните
выведенные формулы!
Для a=1 значения единственной
соответствующей точки равны:
y
2
t
1
2
2 r , r Z
0 x
1 2
0
–1
2
Для a=–1 значения единственной
соответствующей точки равны:
t
2
2 d , d Z

8.

Для решения уравнения
cost=a обратимся к
тригонометрическому
кругу:
a <–1
2
y
I случай. Если a [–1;1],
то уравнение cost=a не
1
имеет корней.
0
–1
1
0
–1
3
2
2
x
a >1

9.

II случай. Если a (–1;1), то
уравнение cost=a имеет два
корня на промежутке, равном
периоду функции косинус, т.е. при
t [0; 2 ].
Полученные точки симметричны
относительно оси Оx. Значение одной
y из них соответствует числу arccosa, а
вторая точка имеет значение…
2
(проследите за построениями на
1
чертеже и подумайте).
t=arccosa
a 0
–1
0
x
1 2
t=–arccosa
–1
3
2
2
arc co s a;
Значит, при t [0; 2 ] мы получили два корня: t
arc co s a .

10.

Учитывая периодичность функции косинус, каждую из этих точек можно
получить при добавлении целого числа полных поворотов, т.е.:
arc co s a 2 k ;
t
k ,m Z ,
arc co s a 2 m;
Эти записи отличаются друг от друга только знаками перед arccosa. Поэтому эти
два равенства можно объединить в одно и записать:
t arc co s a 2 n, n Z..
Эта формула позволяет найти корни простейшего тригонометрического
уравнения cost=a в случаях, если a (–1;1).

11.

III случай. Если a= –1; 0 или 1.
При этих трех особых значениях
предыдущая формула не годится!
Для a=0 значения
соответствующих
точек равны:
t
2
h, h Z
–1
Разберитесь с этими
тремя «особыми»
значениями и запомните
выведенные формулы!
Для a=1 значения единственной
соответствующей точки равны:
2
y
t 2 r, r Z
1
0 x
1 2
0
–1
2
Для a=–1 значения единственной
соответствующей точки равны:
t 2 d , d Z

12.

Так как E(tg)= , то уравнение tgt=a
всегда имеет бесконечно много корней.
линия
тангенсов
Корнями уравнения являются числа
(величины углов поворота в радианной
мере)
попадающие
в
две
точки
тригонометрического
круга,
с
соответствующими
значениями
(подумайте какими?):
a
y
2
1
t=arctga
x
–1
t=arctga+π
Все эти корни принято записывать в виде:
t arc tga n, n Z..
1 0
0
–1
2

13.

y
Так как E(ctg)= , то уравнение ctgt=a
всегда имеет бесконечно много корней.
0 2
1
a
линия
котангенсов
t=arcctga
x
–1
0
1
t=arcctga+π
–1
Все эти корни принято записывать в виде:
2
Корнями
уравнения
являются числа (величины
углов
поворота
в
радианной
мере)
попадающие в две точки
тригонометрического круга,
с
соответствующими
значениями
(подумайте
какими?):
t arc ctga n, n Z..