Фазовые переходы-4. Изменение симметрии при фазовых переходах второго рода

1.

Фазовые переходы-4
Изменение симметрии
при фазовых переходах
второго рода

2.

Изменение симметрии при
фазовых переходах второго рода
1.
2. -
1 a1 a2 2 a3 3 a4 4 ...
2 a1 a2 2 a3 3 a4 4 ...
a2 2 a4 4 ...
Широков Владимир Борисович

3.

Изменение симметрии
( x, y , z ) ( r )
g G ( gr ) (r )
0
G
G0 0 0
G
G G0
dV
0
G0
Физический смысл
Вероятность нахождения атома на узле pi
Движение структурных групп R
i
Смещения атомов x
i
Поляризация P
Деформация i,j
Магнитный момент атома M i
Широков Владимир Борисович

4.

Параметр порядка
in in
n
i
in exp ikin r
n
i
0 dV 0
A
n 2
i
n
n
i
a1 2 ... a2 12 22 ...
a3 12 22 32 ...
a4 12 22 32 42 ...
Широков Владимир Борисович

5.

Связь параметра порядка с
in in
n
i
1
C3
1 1
T (g) 1
1
1
1
Оператор проектирования
Pij E ( g )ij T ( g )
g
0 (3) (2) (1)
1
1
2
2
3
3
(2)
(1)
2
2
1 E (C1 )11T (C1 )(3) E (C3 )11T (C3 )(3) E (C32 )11T (C32 )(3) (3) (2) (1)
2 E (C1 )12 T (C1 )(3) E (C3 )12 T (C3 )(3) E (C32 )12 T (C32 )(3)
1
3
2
6
1
3
1
2
1
2
1
3 3
1
2
2
1
1
2
Широков Владимир Борисович

6.

Симметрия параметра порядка
g G ( gr )
gr in exp ikin gr
n
i
T ( g 1 ) in exp ikin r
n
i
L T ( g ) , g G
T ( g ) ai ,k
a
i ,k
k
i
Широков Владимир Борисович

7.

Базис инвариантов
Оператор проектирования = усреднение по группе
P
1
T (g)
G g
C2
1
T (g)
1
1: 1+2
12: 12+22
12: 12
1 1 2
1 2 1
1 2
J12= (12+22)+2(12)
J1=1+2
J2=12
Широков Владимир Борисович

8.

Базис инвариантов C3
C3
1
T (g) 1
1
P1: 1+2+3
P12: 12+22+32
P12: 12+13+23
P13: 13+23+33
P122: 122+ 321+ 223
P123: 123+ 322+ 221
P123: 123
1 1 3
1
2 1
1 3 2
1 3 2
J12= (12+22+32)+2(12+13+23)
J13= (13+23+33)+3(122+ 321+ 223)+3(123+ 322+ 221)
+6(123)
J1J2=(122+ 321+ 223)+(123+ 322+ 221)+3(123)
J1=1+2+3
J2=12+13+23
J3=123
J4= 122+ 321+ 223
Широков Владимир Борисович

9.

Базис инвариантов C3v
C3
1
1 1
T (g) 1
1
1
1
1:
1 2:
12:
1 3:
122:
1+2+3
12+22+32
12+13+23
13+23+33
122+ 321+ 223
+ 123+ 322+ 221
123: 123
1 1 3
1
2 1 ,
1 3 2
1 1 2
1
2 1
1
3 3
1 3 2
1 2, 3 3
J12= (12+22+32)+2(12+13+23)
J13= (13+23+33)+3(122+ 321+ 223+123+ 322+ 221)
+6(123)
J1J2=(122+ 321+ 223)+(123+ 322+ 221)+3(123)
J1=1+2+3
J2=12+13+23
J3=123
Широков Владимир Борисович

10.

Базис инвариантов Oh
C2x
C2y
I
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
2 -2
3 -3
1 -1
23 -23
123 -123
12
22
32
123
12
22
32
1
22
32
23
F1u : J1 , J 2 , J3
C3
xy
1 1
1
1
1
1
px 1
py 2
pz 3
J1 px2 p y2 pz2
J 2 px2 p y2 px2 pz2 p y2 pz2
J 3 px2 p y2 pz2
Широков Владимир Борисович

11.

Нахождение низкосиметричных фаз
g G, ( gr ) (r )
T ( gk ) , i 0, gk G G0
C 2z
1
1
1
C2z p p
p 0,0, pz
p
G
|G|
|G0|/|G
0
(0 0 0)
43m
48
1
1
(px 0 0)
4mm
8
6
2
(px px 0)
mm2
4
12
3
(px px px)
3m
6
8
4
(px py 0)
m
2
24
5
(px px pz)
m
2
24
6
(px py pz)
1
1
48
№
C2z
x
xy
1
1
1
1
1
1
1
4mm
1
1
Поляризация (F1u)
Широков Владимир Борисович

12.

Изменение трансляционной
симметрии
exp ik r
i
i
i
0 dV A i2
i
2
b
, r r a exp ib(r a ) exp ibr
a
b
k , exp ikr exp ik (r a )
n
exp ika 1, a na
Широков Владимир Борисович

13.

Точки Лифшица
1
k 0,
0 k k0 , r
k
exp i r ,
x
0 dV A i2 i k dV
x
i ,k
i
x
k
i
i
k
i k
x
x x
i
k
k i
x
x
0
k x k y k z k
x
y
z
Несоразмерные фазы
Длиннопериодические фазы
Широков Владимир Борисович

14.

Pm3m
a1 (1, 0, 0)a, a2 (0,1, 0)a, a3 (0, 0,1)a
b1 (1, 0, 0)b, b2 (0,1, 0)b, b3 (0, 0,1)b, b
2
a
1
1 1
1 1 1
(0, 0, 0), X (0, 0, )b, M ( , , 0)b, R ( , , )b
2
2 2
2 2 2
Im3m
a1 ( 1/ 2,1/ 2,1/ 2)a, a2 (1/ 2, 1/ 2,1/ 2) a, a3 (1/ 2,1/ 2, 1/ 2)a
b1 (0,1,1)b, b2 (1, 0,1)b, b3 (1,1, 0)b, b
2
a
1
1 1
1
1
1 1 1
(0, 0, 0), N b3 ( , , 0)b, H b1 b2 b3 (0, 0,1)b, P b1 b2 b3 ( , , )b
2
2 2
4
4
2 2 2
Fm3m
a1 (0,1/ 2,1/ 2)a, a2 (1/ 2, 0,1/ 2) a, a3 (1/ 2,1/ 2, 0) a
b1 ( 1,1,1)b, b2 (1, 1,1)b, b3 (1,1, 1)b, b
2
a
1
1
1 1 1
b1 b2 (0, 0,1)b, L b1 b2 b3 ( , , )b,
2
2
2 2 2
1
1
1
W b1 b2 b2 b3 (1, 0, )b,
4
2
2
(0, 0, 0), X
Широков Владимир Борисович

15.

Широков Владимир Борисович

16.

Широков Владимир Борисович