Метод стрельбы решения краевой задачи. Лекция 10

1.

Метод стрельбы решения краевой задачи
Лекция 10

2.

Разностная схема, аппроксимирующая краевую задачу
Пусть дана двухточечная краевая задача для ОДУ второго порядка:
y // p( x) y f ( x),0 x X ,
y (0) A, y ( X ) B
(1)
( 2)
Построим разностную схему со вторым порядком аппроксимации. Для
этого введем на отрезке [0, X ] равномерную сетку с шагом h :
h {xn n h, n 0,1,..., N , Nh X }.
Тогда разностная схема, аппроксимирующая краевую задачу (1), (2)
имеет вид:
y n 1 2 y n y n 1
l
(
y
)
p n y n f n , n 1, N 1,
n
2
h
y A, y B
N
0
где pn = p(xn), fn = f(xn).
(3)
( 4)

3.

Метод стрельбы
Решение yn системы линейных алгебраических уравнений (3) представим в
виде
y n y n0 Cy 1n ,
(5)
где y n0 - решение системы
l ( y n0 ) f n , n 1, N 1
0
y 0 A, y10
(6)
(7 )
α – произвольное число. А y 1n - решение системы
l ( y1n ) 0, n 1, N 1
1
y 0 0, y11 0
(8)
(9 )

4.

Метод стрельбы
С – постоянная, которая определяется из второго граничного условия
схемы (1). При n=N из (3) имеем
y N B y N0 cy 1N
отсюда
B y N0
С
y1N
(10)
Замечание: для экономии оперативной памяти компьютера можно не
запоминать yi0 и yi1 , i 0, N . Достаточно запомнить только y N0 и y1N для
вычисления С по формуле (10) и y10 , y11 , затем найти yn по формулам
yn 1 (2 h2 pn ) yn yn 1 h2 f n , n 1, N
y0 A, y1 y10 Cy11.

5.

Алгоритм метода стрельбы
Таким образом, систему (3), (4) можно решить по алгоритму,
состоящему из следующих пунктов
0. Выбираем произвольно α и β≠0.
1. Решаем систему (6), (7). Для этого из уравнения (6) выражаем y n0 1
через остальные переменные:
y n0 1 (2 h 2 p n ) y n0 y n0 1 h 2 f n , n 1, N 1
(11)
Пользуясь (7) последовательно вычисляем по формуле (11) y 00 , y10 ,
y 20 , …, y N0 и запоминаем их.
2. Решаем аналогичным образом систему (8), (9) и запоминаем y 10 , y11 ,
y 12 , …, y 1N .
3. Вычисляем С по формуле (10).
4. По формуле (5) вычисляем последовательно y0, y1, …, yN
Полученные значения yn ≈ y(xn), n 0, N , где y(xn) – решение краевой
задачи (3), (4).