Линейная алгебра

1. Лекция 1

Линейная алгебра

2. Матрицы и операции над ними

Матрицей размера называется
прямоугольная таблица чисел, состоящая
из m строк и n столбцов
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2 n
...................
a a ... a
mn
m1 m 2

3. Линейная алгебра

Квадратной матрицей n-порядка
называется матрица, имеющая
одинаковое количество строк и столбцов
(m=n). Например, квадратные матрицы 2го и 3-го порядка соответственно имеют
вид:
a11 a12
a 21 a 22
à11
a 21
a
31
à12
a 22
a 32
a13
a 23
a 33

4. Виды матриц.

Единичные матрицы
1 0 0
E 0 1 0
0 0 1
1 0
E
0 1

5.

Диагональные матрицы
a11
0
0
треугольные матрицы
a11 a12
0 a 22
0
0
a13
a 23
a33
0
a 22
0
0
0
a 33

6.

Ступенчатые матрицы
Нулевые матрицы
0 0
0
0 0
a11 a12
0 a 22
a13
a 23
a14
a 24

7.

Транспонирование матрицы
– это
переход к матрице , в которой строки и
столбцы меняются местами.
a11
A a 21
a
31
a12
a 22
a32
a
AT 11
a12
a 21
a 22
a31
a32

8. Действия над матрицами

Две матрицы
A (aij )
B (bij )
и
называются
равными, если равны все их
соответствующие элементы, т.е.
a ij bij
m n
m n

9.

на число
называется матрица mB n mA n элементы
которой равны
bij aij
Пример;
Произведением матрицы
3 7 3 4 7 3 2 4 3 3 1 34 15
=
.
7 5 2 1 7 7 5 2 7 3 5 1 59 26
4
АВ =
A
m n

10.

Суммой двух матриц
A
B
и
называется матрица mC n , элементы
которой вычисляются по формуле
сij aij bij
m n
m n
.

11. Пример

4 7
А + В =
7 2
3 3 11 6
.
5 1 9 6

12.

Возведение в степень m квадратной
матрицы n-го порядка – это умножение
матрицы самой на себя m раз.
Пример:
3 7 3 7 7 3 2 7 3 3 1 55 24
=
.
2 1 2 1 2 7 1 2 2 3 1 1 16 7
7
В2 =

13. Определители

Определитель первого порядка
матрицы (а11) – это само число а11.
Определителем второго порядка,
a
a
A
соответствующим матрице
a
a
называется число, определяемое
следующим образом: A a a a11 a22 a21 a12
11
12
a21
a22
11
12
21
22

14. Пример вычисления определителя 2 порядка

8
7
1
8 4 7 1 32 7 25.
4

15. Пример вычисления определителя 3 порядка

4 2 1
6 7 3 4 7 5 6 4 1 2 ( 3) 0 0 7 1 4 ( 3) 4 6 2 5
0 4 5
140 24 0 0 48 60 164 12 152 .
.

16.

Для матрицы А третьего порядка
определитель можно вычислить по
формуле, которая называется формулой
треугольников:
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23 a11 a 22 a 33 a12 a 23 a 31 a 21 a 32 a13
a 31
a 32
a 33
a13 a 22 a 31 a 23 a 32 a11 a 21 a12 a 33 .

17. Правило треугольника

С помощью данного правила вычисляем
определитель третьего порядка
–
=
(Основания
треугольников
параллельны
главной диагонали)
(Основания
треугольников
параллельны
побочной
диагонали)

18. Второе правило вычисления определителей

Алгебраическим дополнением
Aij
элемента a ij называется число
определяемое равенством A ( 1) i j M
ij
ij

19.

Минором М ij , соответствующим элементу
a ij , называется определитель, полученный
из данного определителя путем
вычеркивания из него строки и столбца,
на пересечении которых стоит данный
элемент.

20.

Определители n-го порядка можно
вычислять путем разложения по
элементам любой строки или любого
столбца, применяя следующие формулы:
n
n
aij Aij aij ( 1)
j 1
j 1
i j
M ij

21. Вывод

Определители и матрицы используются
при решении систем линейных уравнений.

22. Спасибо за внимание