Понятие предела функции

1. Понятие предела функции

2. I. Повторение материала.

1. Понятие функции.
• Определение. Если каждому значению х
числового множества X по правилу f
соответствует единственное число множества Y,
то говорят, что на числовом множестве X
задана функция у = f(x), значения х
определяются множеством значений, входящих
в область определения функции (Х) .
• В этом случае х называется аргументом, а у значением функции. Множество X называется
областью
определения
функции,
Y
множеством значений функции.

3. 2. Предел функции в точке.

• Определение. Число А называется
пределом функции f в точке x0, если для
любого числа ε > 0 существует такое число
δ > 0, что для всех
точек х ≠ x0, удовлетворяющих условию
• |х — x0| < δ, x ≠ x0, выполняется неравенство
f ( x) A
lim
|f (x) — A| < ε.
x x
0
у
А+ε
А
А-ε
О
х0
х0-δ
х0+δ
х

4.

• Все основные элементарные функции:
постоянные, степенная функция (хα),
показательная
функция
(ax),
тригонометрические
функции
(sinx, cosx, tgx и ctgx) и обратные
тригонометрические
функции
(arcsinx, arccosx, arctgx и arcctgx) во
всех
внутренних
точках
своих
областей определения имеют пределы,
совпадающие с их значениями в этих
точках.

5. Примеры функций, имеющих предел в точке

у= x2
lim у 4
x 2
Предел функции
при x → 2 равен 4
(при x → 2 значения
функции → 4).
Предел функций при x → 0 равен 0.

6.

Примеры функций,
не имеющих предел в точке
у
у
у
А
1
О
х
-1
О
а
х
О
а
х

7. 3. Основные теоремы о пределах.

Если функции f (x) и g (x) имеют конечные пределы в точке a,
причем
То
если B ≠ 0 и если g (x) ≠ 0 в δ-окрестности точки a.

8. 4. Замечательные пределы и формулы в помощь для вычисления пределов.

• Первый замечательный предел
sin x
1
lim
x
x 0
• Второй замечательный предел
1 x
(1 ) e
lim
x
x

9. формулы в помощь

10. II. Закрепление материала. 1. Решение простых пределов.

Вычисление предела функции в точке
1. Сначала просто пытаемся подставить число в функцию
lim ( x 2 5x 8) 9 15 8 2
x 3
Найдем
x2 5x 8
lim
.
2
x 3 x
x 4
Предел числителя
lim ( x 2 5x 8) 9 15 8 2
x 3
Предел знаменателя
lim ( x 2 x 4) 9 3 4 10
x 3
.
Используя теорему о пределе частного, получим
lim
x 3
lim ( x 2 5 x 8)
x 5x 8
2
1
x 3
.
2
2
10 5
x x 4
lim ( x x 4)
2
x 3

11.

2. Найдем
x 2 5x 8
lim
.
x 3
x 3
Предел числителя
lim ( x 2 5x 8) 9 15 8 2
x 3
Предел знаменателя равен нулю, поэтому теорему о пределе
частного применять нельзя.
Величина 1/(x-3) является бесконечно большой величиной при
x→3.
Тогда
x 2 5x 8
lim
.
x 3
x 3