Интегралы. Введение в математический анализ

1.

Интегралы
Введение в математический анализ

2.

План вебинара
1)Разбор ДЗ
2) Интегралы:
- неопределённые интегралы
- определённые интегралы
3) Дифференциальные уравнения
2

3.

Разбор ДЗ (ФНП). Часть 1.
1.
Найти область определения функции.
3

4.

2.
Найти частные производные 1-го
порядка функции.
4

5.

5

6.

3.
Найти полный дифференциал функции
в точке (1;1).
6

7.

7

8.

8

9.

4.
Исследовать на экстремум функцию
Решение:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=extrema+calculator&assumption=%7B
%22F%22%2C+%22GlobalExtremaCalculator%22%2C+%22curvefunction%22%7D
+-%3E%22x%5E2%2Bxy%2By%5E2-6x-9y%22
9

10.

10

11.

Приращение функции и приращение
аргумента
11

12.

12

13.

13

14.

Интегрирование
по сути, это противодействие
дифференцированию.
Знак интегрирования:
SQUARE -> S ->
14

15.

При интегрировании проверить себя довольно просто: достаточно взять
производную от ответа - должна получится функция под интегралом.
15

16.

16

17.

Основные правила интегрирования
17

18.

18

19.

19

20.

Весь процесс интегрирования сводится к тому,
что необходимо привести подынтегральную
функцию к табличному виду.
20

21.

21

22.

22

23.

Метод замены переменной
(по сути, он идентичен внесению под знак
дифференциала)
23

24.

В этом методе важно вернуться к исходной переменной:
24

25.

25

26.

Источник:
26

27.

Интегрируем правую и левую части
27

28.

28

29.

29

30.

30

31.

Какие интегралы берутся по частям
31

32.

Дробь правильная
(старшая степень выражения в знаменателе
выше степени выражения в числителе)
32

33.

33

34.

34

35.

35

36.

36

37.

37

38.

38

39.

39

40.

Для интеграла Римана функция должна быть непрерывна и
дифференцируема во всех точках заданного отрезка [a,b] . Для
интеграла Лебега таких ограничений нет.
Т.е. интеграл Лебега совпадает с интегралом Римана там, где интеграл
Римана существует. При этом интеграл Лебега можно брать и от не
дифференцируемых в точке функций. Например, от функции Дирихле.
40

41.

Интегрирование
по Риману
Интегрирование
по Лебегу
41

42.

Статьи по интегралам Лебега
• Интеграл Лебега:
https://mathworld.wolfram.com/LebesgueInt
egral.html
• Мера Лебега:
https://mathworld.wolfram.com/Measure.html
• Пример вычисления интеграла Лебега:
https://demonstrations.wolfram.com/LebesgueI
ntegration/
42

43.

43

44.

44

45.

45

46.

46

47.

47

48.

48

49.

49

50.

Несобственные интегралы
определённые интегралы с особенностями
на границах.
Одна из границ - бесконечность
Особенность на
одной из границ
интегрирования
50

51.

Примеры вычисления
несобственных интегралов
51

52.

Дифференциальные уравнения: где
применяются.
DSP (Цифровая обработка сигналов)
Computer vision
«Анализ любых экспериментальных данных (зависимости величин) - только
диффуры! А это - весь мир». (c, @xmoonlight, https://qna.habr.com/q/149841)
52

53.

Решение дифференциальных
уравнений
53

54.

54

55.

55

56.

56

57.

57

58.

Как определить, что ДУ однородное
и использовать замену вида
смотрим тут
http://mathprofi.ru/odnorodnye_diffury_pervogo_poryadka.html
58

59.

Спасибо!