Аналитические функции

1.

Введем понятие производной ФКП.
Пусть независимой переменной
z x i y
дано приращение
z x i y
Приращение функции w=f(x):
f ( z z ) f ( z )

2.

Если существует предел отношения
z
при z 0 по любому закону, то этот
предел называется производной функции
f(z) в точке z:
f ( z ) lim
z 0 z
Обозначают:
f ( z ), ,
d
,
dz
df
dz

3.

Требование существования предела отношения
z
и его независимость от закона стремления к нулю
приращения переменной, накладывает на
функцию более сильные ограничения, чем в
случае функции действительного переменного.
Для функции действительного аргумента предел
существует при приближении точки х+Δх к
точке х по двум направлениям (слева и справа).
Для функции комплексного переменного точка
z+Δz должна приближаться к точке z по любому
пути, и пределы по всем направлениям должны
быть одинаковы.

4.

Пусть
f ( z ) u ( x, y ) i v ( x, y )
z x i y
тогда
f ( z z ) f ( z ) u ( x x; y y )
u ( x, y ) i v( x x; y y ) v( x, y )
u i v
где
u u ( x x; y y ) u ( x, y )
v v( x x; y y ) v( x, y )

5.

Тогда
u i v
f ( z ) lim
lim
z 0 z
x 0 x i y
y 0
Если функция дифференцируема в точке z, то этот
предел существует и не зависит от закона
стремления z 0
Если Δz = Δх, то есть точка z+Δz приближается к
точке z по прямой, параллельной оси х, то
u i v
u
v u
v
f ( z ) lim
lim i i
x 0
x 0 x
x
x x
x

6.

Если Δz = iΔy, то есть точка z+Δz приближается к
точке z по прямой, параллельной оси у, то
u v v
u i v
u
f ( z ) lim
lim
i
y 0
y 0 i y
i y
y y
y
Так как
lim
z 0 z
не должен зависеть от закона стремления z 0
то

7.

u
v v
u
i i
x
x y
y
u v
x y
v
u
x
y

8.

Это необходимое условие дифференцируемости ФКП.
Оно должно выполнятся в любой точке, в которой
функция f(z) дифференцируема.
Если функция комплексного аргумента
однозначна и дифференцируема не только
в данной точке, но и в некоторой
окрестности этой точки, то она
называется аналитической в данной точке.

9.

Функция, дифференцируемая во всех точках
некоторой области, называется
аналитической в данной области.
Точки плоскости z, в которых функция f(z)
аналитична, называются правильными
точками этой функции.
Точки плоскости z, в которых функция f(z)
неаналитична, называются особыми
точками.

10.

Выяснить, являются ли данные
функции аналитичными:
1
z2
2
e
3
z
z

11.

1
z2
2
2
2
u i v ( x i y) x y 2i x y
2
2
u x y
v 2x y
u
v
2x
x
y
u
v
2 y
y
x
Условия Коши-Римана выполняются во всех точках
плоскости, следовательно функция является
аналитичной на всей плоскости.

12.

2
ez
x i y
x
u i v e
e (cos y i sin y)
u e x cos y
v e sin y
u
v
u
v
x
x
e cos y
e sin y
x
y
y
x
x
Условия Коши-Римана выполняются во всех точках
плоскости, следовательно функция является
аналитичной на всей плоскости.

13.

3
z
u i v x i y
u x
v y
u
v
1
1
x
y
Условия
Коши-Римана
не
выполняются,
следовательно функция не является аналитичной
ни в одной точке плоскости.