Домашнее задание:
665.50K
Category: mathematicsmathematics

Случайные величины

1.

Случайные величины
Случайной величиной (СВ)
называется величина, которая в
результате опыта может принять то
или иное значение, причем заранее до
опыта неизвестно, какое именно.
Делятся на два типа: дискретные СВ
(ДСВ) и непрерывные СВ (НСВ)

2.

Дискретная случайная величина
(ДСВ)
ДСВ – такая величина ,число возможных
испытаний которой либо конечно, либо
бесконечное множество, но обязательно
счетное.
Например, частота попаданий при 3 выстрелах – X
x1=0, x2=1, x3=2, x4=3
ДСВ будет полностью описана с вероятностной точки
зрения, если будет указано, какую вероятность имеет
каждое из событий.

3.

Закон распределения СВ
Законом распределения СВ называется соотношение,
устанавливающее связь между возможным
значением СВ и соответствующими вероятностями.
Формы задания закона распределения:
1.
Таблица
X x1 x 2 … xn
Pi p1 p2 … pn
n
P 1
i 1
i

4.

Закон распределения ДСВ
Многоугольник
распределения
Pi
p3
p2
p4
p1
x1
x2
x3
x4
Xi
Сумма ординат многоугольника распределения,
представляющая собой сумму вероятностей всех
возможных значений СВ всегда равна 1

5.

Числовые хар-ки ДСВ
1. Математическое ожидание – сумма
произведений значений СВ на их
вероятности.
n
M
(
X
)
x
p
x
p
...
x
p
x
p
1
1
2
2
n
n
i
i
i
1
Математическое ожидание является хар-кой
среднего значения случайной величины

6.

Числовые хар-ки ДСВ
Свойства математического ожидания:
1
.
M
(
c
)
c
,
c
const
2
.
M
(
x
x
...
x
)
M
(
x
)
M
(
x
)
...
M
(
x
)
1
2
n
1
2
n
3
.
M
(
x
*
x
*
...
*
x
)
M
(
x
)
*
M
(
x
)
*
...
*
M
(
x
)
1
2
n
1
2
n
4
.
M
(
cx
)
cM
(
x
),
c
const

7.

Числовые хар-ки ДСВ
2. Дисперсией ДСВХ называется
математическое ожидание квадрата
отклонения случайной величины от
математического ожидания.
D
(
X
)
M
(
X
MX
)
2
Дисперсия характеризует меру рассеяния значений СВ
от математического ожидания
(X
) D
(X)
Среднеквадратичное
( X ) -отклонение
При решении задач дисперсию удобно вычислять по
формуле:
D
(
X
)
M
(
x)
M
(
x
)
2
2

8.

Непрерывная СВ
НСВ называется такая величина,
возможные значения которой
непрерывно заполняют некоторый
интервал (конечный или бесконечный).
Число всех возможных значений НСВ
бесконечно.
Пример: Случайное отклонение по
дальности точки падения снаряда от
цели.

9.

Функция распределения НСВ
Функцией распределения называют F(x),
определяющую для каждого значения x
вероятность того, что СВХ примет значение,
меньшее х, т.е. согласно определению
F(x)=P(X<x)
F(x) определяет и ДСВ и НСВ. F(x) также
называют интегральной функцией
распределения.

10.

Мода
Модой ДСВХ называется ее наиболее вероятное значение. Модой НСВХ
называется такое ее значение M0, при котором плотность распределения
максимальная.
Для нахождения моды НСВ необходимо найти максимум функции с помощью
первой или второй производной.
X
1
2
3
P
0.1
0.6
0.3
M0=2, т.к. 0.1<0.6>0.3
Геометрически мода является абсциссой той точки кривой или полигона
распределения, ордината которой максимальна
Y
a
М0
b
X

11.

Медиана
Медианой НСВХ называется такое ее значение Ме, для
которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина
больше или меньше Ме, т.е. P(x< Ме)=P(x> Ме)=0.5
Ордината, проведенная к точке с абсциссой, равной Ме,
делит пополам площадь, ограниченную кривой или
полигоном распределения. Если прямая x=a
является осью симметрии кривой распределения
y=f(x), то М0=Ме=М(Х)=a

12.

Равномерное распределение
плотности
Равномерным называется распределение таких СВ, все значения которых лежат на некотором
отрезке (a;b) и имеют постоянную плотность вероятности на этом отрезке
Математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное
отклонение равномерно распределенной СВ:
Y
h
a b
M
(X)
2
a
(a b
)
D
(X
)
12
2
(X) b2 3a
b
0,x a
f(x)
h,a x b
0,x b
h
1
b a
X

13.

Пример 1. Найти числовые характеристики следующей дискретной случайной величины:
xi
pi
2
0,3
4
0,35
5
0,25
10
0,1
M ( x) 2 0,3 4 0,35 5 0,25 10 0,1 4,25
Мо 4
D( x) 2 0,3 4 0,35 5 0,25 10 0,1 4,25 5
2
2
2
2
2
( x) 5 2,2
M 3 (2 4,25) 3 0,3 (4 4,25) 3 0,35 (5 4,25) 3 0,25 (10 4,25) 3 0,1 15,695
AS
15,695
1,47
3
2,2
M 4 (2 4,25) 4 0,3 (4 4,25) 4 0,35 (5 4,25) 4 0,25 (10 4,25) 4 0,1 117,1
117,1
Ek
3 2
4
2,2

14. Домашнее задание:

1. Прочитать параграф 8
2. Выполните 8.2; 8.4
English     Русский Rules