Четыре замечательные точки треугольника

1.

2.

№664. Прямая АМ – касательная к окружности, АВ –
хорда этой окружности. Докажите, что угол МАВ измеряется
половиной дуги АВ, расположенной внутри угла МАВ.
М
МАВ 90 ,
0
В
по свойству касательной
О
А
АВ 2 МАВ
0
0
АОВ 180 2 2(90 )
из АОВ

3.

Блиц-опрос. Найдите угол МАВ.
М
В
710
О
А

4.

Блиц-опрос. Найдите угол МАВ.
М
В
1610 : 2 = 160060/ : 2 = 80030/
О
А

5.

Блиц-опрос. Найдите дугу АВ.
В
860 2 = = 1720
О
860
А
М

6.

Блиц-опрос. Найдите дугу АВ.
44055/ 2 = 880110/ = 89050/
В
О
44055/
А
М

7.

№670. Через точку А проведены касательные АВ
(В – точка касания) и секущая, которая пересекает
окружность в точках Р и Q. Докажите, что АВ2 = АР АQ.
Р
Q
А
В
А общий
1
АВР ВР
2
1
Q ВР
2
АВР
АQВ
по 1 признаку подобия
РВ
ВQ
АР
=
АВ
=
АВ
АQ
АВ2 = АР АQ.

8.

№671. Через точку А проведены касательные АВ
(В – точка касания) и секущая, которая пересекает
окружность в точках С и D. Найдите СD, если АВ=4 см,
АС=2 см.
C
6
?
D
2
А
4
В
АВ2 = АC АD.
42 = 2 АD.
АD = 8

9.

№672. Через точку А, лежащую вне окружности,
проведены две секущие, одна из которых пересекает
окружность в точках В1, С1, а другая – в точках В2, С2.
Докажите, что АВ1 АС1 = АВ2 АС2
А
В1
В2
С1
АD2 = AB2 АC2
D
С2
АD2 = AB1 АC1
=

10.

Свойство медиан треугольника.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке,
которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая
от вершины.
С
2
АО
СО
ВО
=
=
=
1
В О А1О С1О
1
В1
А1
О
А
1
С1
В

11.

Теорема
Каждая точка биссектрисы
неразвернутого угла равноудалена от его сторон.
В
K
А
1
2
М
L
С

12.

Обратная теорема Каждая точка, лежащая
внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит
на его биссектрисе.
В
K
А
М
L
С

13.

Следствие
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
В
K С1
А
По теореме
о биссектрисе
угла
ОМ=ОК
ОМ
ОК =ОL
ОL
О
В1
А1
М
L
=
2
С
По обратной теореме т. О
лежит на биссектрисе угла С

14.

Определение
Серединным перпендикуляром к
отрезку называется прямая, проходящая через
середину данного отрезка и перпендикулярно к нему.
М
С
В
a
Прямая a
– серединный перпендикуляр к отрезку.

15.

Теорема Каждая точка серединного перпендикуляра
к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
М
O
A
m
B

16.

Обратная теорема
Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка,
лежит на серединном перпендикуляре к нему.
A
O
B
N
m

17.

Следствие Серединные перпендикуляры к
сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
n
B
C
О
По теореме о
р
серединном
перпендикуляре к отрезку
m
ОA
ОA=ОB
ОB =ОC
ОC
3
A
=
По обратной теореме т. О лежит на
сер. пер. к отрезку АС

18.

Теорема
Высоты треугольника
(или их продолжения) пересекаются в одной точке.
С2
B
A1
С1
A
4
В1
В2
А2
По теореме о
серединных
перпендикулярах:
C
серединные
перпендикуляры к
сторонам треугольника
пересекаются в одной
точке.

19.

Точка
пересечения
Точка
пересечения
Замечательные
точки
треугольника.
Точка
пересечения
Точка
пересечения
серединных

20.

Треугольник, который опирается на острие иглы в точке
пересечения медиан, находится в равновесии!
Точка, обладающая таким свойством, называется
центром тяжести треугольника.

21.

Высоты прямоугольного треугольника пересекаются в
вершине С.
Высоты остроугольного треугольника пересекаются в
точке О, которая лежит во внутренней области треугольника.
В
Точка пересечения
O
высот называется
М
ортоцентр.
Т
В
С
А
O
С
А
К
Высоты тупоугольного треугольника пересекаются
в точке О, которая лежит во внешней области треугольника.

22.

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий
вершину треугольника с точкой противоположной
стороны, называется биссектрисой треугольника.
O
Эта точка замечательная – точка пересечения
биссектрис является центром вписанной окружности.

23.

Серединным перпендикуляром к отрезку
называется прямая, проходящая через
середину данного отрезка и
перпендикулярно к нему.
O
Эта точка замечательная –
точка пересечения
серединных перпендикуляров
к сторонам треугольника
является центром описанной окружности.