Логарифм и его свойства

1.

Логарифм и его
свойства

2.

Определение логарифмов и
таблицу их значений впервые
опубликовал в 1614 году
шотландский математик
Джон Непер.
Логарифмические таблицы,
расширенные и уточнённые
другими математиками,
повсеместно использовались
для научных и инженерных
расчётов более трёх веков.
Джон Непер,
изобретатель логарифмов

3.

Примеры использования неравномерности
логарифмической зависимости
Акустика — интенсивность звука (децибелы).
Отношение сигнал/шум в радиотехнике и
электросвязи.
Астрономия — шкала яркости звёзд.
Химия — активность водородных ионов (pH).
Сейсмология — шкала Рихтера.
Теория музыки — нотная шкала, по отношению к
частотам нотных звуков.
История — логарифмическая шкала времени.

4.

Логарифмическая
спираль в природе
Расположение семян на
подсолнечнике
Раковина наутилуса

5.

Определение логарифма числа
Логарифмом числа b>0 по основанию a (a≠1, a>0) называется
показатель степени, в которую нужно возвести основание a,
чтобы получить число b:
log a b x, a b
x
Вычислите:
1
log
1
81
log
log
log 533625
27
3
11
29
log
4
log 1

6.

Основное логарифмическое
тождество
a
b , где a≠1, a>0, b>0
loga b
Вычислите:
log
log37512
37

7.

При каких значениях х существует логарифм
log x 3
Х>3
log 10 x
X< 10
log 3x
X<0
log 2 x
X R
log x
Не существует ни при
каком х
1
4
5
5
5
2
0, 2
4
1, 3

8.

Основные свойства логарифмов
При любом a>0, a≠1 и любых x>0 и y>0 выполнены
равенства:
logₐ 1 = 0
logₐ a = 1
logₐ x·y = logₐ x + logₐ y
logₐ
х
= logₐ x - logₐ y
у
logₐ xᵖ = p·logₐ x, для любого действительного p.

9.

1. Логарифм произведения
положительных чисел равен сумме
логарифмов множителей.
loga (bc) = loga b + loga c
a >0; a ≠ 1; b > 0; c >0.
пример:
log 72 log 3 log6 (72 3) log 216 3
6
6
6

10.

2. Логарифм частного двух
положительных чисел равен
разности логарифмов делимого и
делителя.
b
loga c = logab – logac,
a >0; a ≠ 1; b > 0; c >0.
пример:
48
log12 48 log12 4 log12 4 log1212 1

11.

3. Логарифм степени с
положительным основанием равен
показателю степени, умноженному
на логарифм основания
a > 0; a ≠ 1
r
log ab = r logab
b > 0;
r R
пример:
log
5
125 log 125
5
1
2
1
log 125 1,5
5
2

12.

Исправьте ошибки:
log 3 22 log 3 2 log 3 24
log 2 15 log 2 5 log 2 10
log 7 21 log 7 3 log 7 7 1
2 log 2 8 log 2 16

13.

Формула перехода от одного
основания логарифма к другому

14.

Десятичные логарифмы
Десятичным логарифмом числа
называют логарифм этого числа по
основанию 10
log10 a = lg a
lg 10 = 1
lg 100 = lg 10² = 2

15.

Натуральный логарифм
Натуральным логарифмом числа
называют логарифм этого числа по
основанию e, где e - иррациональное
число, приближенно равное 2,7
logе a = ln a
ln e = 1

16.

Вычислить:
log7 49; log3 1/81; log1/2 8; log4 1;
lg 10000; lg 0,001;
log6 3 + log6 2;
log5 100 – log5 4;
lg 0,18 – lg 180

17.

ДОМА!
Найдите значение выражения
log 5 0,2 log 0,5 4
log 5 9 log 3 25
1 log 2 12 1 log 6 12
log 7 13
log 49 13
log5 50
9
log5 2
9