Задачи по строительной механике

1.

2. Задача № 1

Для стального статически неопределимого
бруса переменного поперечного сечения
требуется:
раскрыть статическую неопределимость;
построить эпюру продольных сил;
построить эпюры нормальных напряжений,
приняв А= 2см2
построить эпюры нормальных перемещений;
проверить прочность бруса при заданном nT.

3. Решение:

Рис. 1
В заделках бруса возникают реакции, направленные
вдоль его оси. Имеем систему сил, направленных по
одной прямой, для которой статика дает одно
уравнение равновесия:
ΣX = 0; – HA + F1 + F2 – HB = 0 (1)
Неизвестных реактивных сил две, следовательно,
система один раз статически неопределима.

4.

Для составления уравнения перемещений отбросим
одну из заделок, например правую, и заменим ее
действие на брус соответствующей реактивной силой
HB (рис. 1, б). Получим статически определимый брус,
нагруженный, кроме заданных сил F1 и F2,
неизвестной реактивной силой HB = X.
Этот статически определимый брус нагружен так
же, как заданный статически неопределимый, т.е.
эквивалентен ему. Эквивалентность этих двух брусьев
позволяет утверждать, что второй брус деформируется
так же, как первый, т.е. перемещение λB сечения B
равно нулю, так как фактически (в заданном брусе)
оно жестко заделано:
λB = 0.

5.

Применив принцип независимости действия сил,
перепишем это уравнение в виде:
λB = λBF1 + λBF2 + λBX = 0 (2)
т.е. перемещение от совместного действия всех сил
равно алгебраической сумме перемещений от
действия каждой силы в отдельности.
В обозначениях перемещений первая буква индекса
указывает, о перемещении какого сечения идет речь;
вторая – причину, вызывающую это перемещение
(сила F1 и т.д.).

6.

На рис. 2 показаны
схемы нагружения бруса
каждой
из
сил
в
отдельности,
там
же
Рис.2
показаны
соответствующие реакции левой заделки. Пользуясь
этими схемами, определяем перемещения:
равно удлинению участка AC.
2 F 2a
BF1
E 3A
равно сумме удлинений участков AD и
BF
DE.
равно сумме укорочений участков
X 4a X 2a X 3a
AD, DK, KB.
E
3
A
E
A
E
2
A
2
BX
F 4a F a
E 3A E A

7.

Подставляя значения λBF1 ; λBF2 и λBX в уравнение
(2), имеем:
откуда
2 F 2a F 4a F a X 4a X 2a X 3a
0
E 3A E 3A E A E 3A E A E 2 A
X
22
F
29
Статическая неопределимость раскрыта – имеем
статически определимый брус, заделанный одним
22F
X
концом, нагруженный известными силами F1, F2 и
29
(рис. 3, а). Эпюры продольных сил и нормальных
напряжений строят обычным путем, как для любого
статически определимого бруса.
HA = F1 + F2 – HB = 2F + F – 22/29F = 65/29F

8.

Определение продольных сил на каждом участке:
AC: HA = 65/29F
CE: 65/29F – 2F = 7/29F
EB: X = 65/29F – 2F – F = – 22/29F
Определение напряжение:
AC
CD
65 F
, МПа
29 3 A
7 F
, МПа
29 3 A
DE
7 F
, МПа
29 A
EK
KB
22 F
, МПа
29 A
22 F
, МПа
29 2 A

9.

Наибольшие по абсолютной величине напряжения
возникают в поперечных сечениях участка EK – это
опасные сечения.

10.

Эпюра перемещений дана на рис. 3, г; для
a
сокращения записей введено обозначение
E A
Построение
эпюры
начинаем
от
левого
защемленного конца бруса:
λА = 0;
65 29 F 2a 130 F ;
l
C
AC
D C lCD
E 3A
87
7 / 29 F 2a 144 F .
130
F
87
E 3A
87
и т.д.
На правом конце бруса, в сечении В, ордината
эпюры λ равна нулю, так как в заданном брусе это
сечение жестко закреплено, именно из этого условия
определена величина X.

11.

Проверка прочности:
nT = T / max = 260 / 151.6 = 1.72 > [nT] = 1,6