Визначений інтеграл
Означення
Властивості визначеного інтеграла
Приклад 4.
3. Невласні інтеграли.
4. Обчислення площ плоских фігур.
Економічні задачі, що зводяться до обчислення визначених інтегралів
Знаходження середнього часу, затраченого на виготовлення виробу
Задача 2.
296.00K
Category: mathematicsmathematics

Визначений інтеграл

1. Визначений інтеграл

План
1) Означення визначеного інтеграла та його
властивості
2) Метод заміни змінної та інтегрування частинами у
визначеному інтегралі
3) Невласні інтеграли
4) Геометричні застосування визначеного інтегралу

2.

Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a;b](де a < b), і
якщо:
1) Розбити цей відрізок на n частинних відрізків довжиною
x1, x2, ..., xn;
2) Вибрати на кожному частинному відрізку по одній
довільній точці 1, 2, ..., n;
3) Обчислити значення функції f(x) у вибраних точках;
4) Скласти суму
n
f ( 1 ) x1 f ( 2 ) x2 ... f ( n ) xn f ( i ) xi ,
i 1
то вона називається інтегральною сумою f(x) на відрізку [a;b].

3. Означення

Якщо по різному ділити відрізок [a;b] на n частинних
відрізків і по-різному вибирати на них по одній точці i, то
можна для будь-якої неперервної функції f(x) і будь-якого
заданого відрізка [a;b] скласти нескінченну множину
різних інтегральних сум.
При цьому виявляється, що всі ці інтегральні суми при
необмеженому зростанні n при прямуванні до нуля
найбільшої із довжин частинного відрізка, мають одну і ту
ж границю.
Ця границя всіх інтегральних сум функції f(x) на відрізку
[a;b] називається визначеним інтегралом від f(x) в
межах від a до b та позначається: b
f ( x)dx
a

4. Властивості визначеного інтеграла

1) При перестановці меж інтегрування знак інтегралу
b
a
змінюється на протилежний:
f ( x)dx f ( x)dx
a
b
2) Інтеграл з однаковими межами дорівнює нулю:
a
f ( x)dx 0
a
3) Відрізок інтегрування можна розбити на частини:
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
4) Інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює сумі
інтегралів від кожного доданку:
b
b
b
( f ( x) f ( x) f ( x))dx f ( x)dx f
1
a
2
3
1
a
a
b
2
( x )dx f 3 ( x )dx
a

5.

5) Постійний множник k можна виносити за знак інтеграла:
b
b
a
a
kf ( x)dx k f ( x)dx
Для обчислення визначеного інтеграла використовується
формула Ньютона-Лейбніца:
b
b
(1)
f ( x)dx F ( x) F (b) F (a)
a
a
тобто, визначений інтеграл дорівнює різниці значень
невизначеного інтеграла при верхній та нижній межах
інтегрування.

6.

Приклад 1.
7
1
2
dx
(3x 4)
1 3x 4 1 (3x 4) dx
1
3
2
2
2 8
2
5 2
3
3 3
3
7
Приклад 2.
7
1
2
2
3x 4
3
7
1
1
x
x2
sin
dx
2
cos
2
cos
2 cos 0
0 2
20
4
2
2
2
2 2 2
2

7.

2. Метод заміни змінної у визначеному інтегралі.
b
Якщо визначений інтеграл f ( x)dx перетворюється за
a
допомогою підстановки:
x (t ) в інший інтеграл, з новою змінною t, то задані
межі: x1 a, x2 b змінюються новими межами:
t1 , t2 , які визначаються з вибраної
підстановки, тобто з рівнянь:
a ( ), b ( )
Якщо (t ), f ( (t )) неперервні на відрізку: ;
b
то:
(2)
f ( x)dx f ( (t )) (t )dt
a

8.

Приклад 3.
t ex 1
ln 2
e x e x 1dx
0
dt e x dx
a 0 e 1 0
0
b ln 2 eln 2 1 1
1
0
2
tdt t
3
3 1
2
0
2
3

9.

Інтегрування частинами у визначеному інтегралі.
Якщо підінтегральний вираз у визначеному
інтегралі можна представити у вигляді добутку
двох співмножників: u, dv, то для обчислення
визначеного інтегралу треба скористатися
формулою інтегрування частинами:
b
b
udv u v vdu
b
a
a
a

10. Приклад 4.

u x
1
x
xe
dx
0
dv e x dx
du dx
xe
x 1
0
1
e x dx
0
v e x
1 1
2 e 2
e ( e ) 1 1
0
e e
e
e
1
x
1

11. 3. Невласні інтеграли.

а) Інтеграли з нескінченними межами.
Означення. Якщо існує скінченна границя:
b
lim f ( x)dx
то цю границю називають
невласним інтегралом від функції f ( x),
в інтервалі a, і позначають:
b a
a
f ( x)dx

12.

Тобто:
b
(3)
f ( x)dx lim f ( x)dx
b a
a
У цьому випадку кажуть, що інтеграл існує або він є
b
збіжним. Якщо
не має
f ( x)dx, b
a
скінченної границі, то кажуть, що
не існує, або він розбіжний.
Аналогічно визначаються:
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
a
a
f ( x )dx

13.

c
f ( x)dx
f ( x)dx
a
f ( x)dx
c
c
lim
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
b
a
c
Приклад. Обчислити інтеграл: dx 2
1 x
0
Розв’язок:
b
dx
dx
b
lim
lim
arctgx
0 1 x 2 b 0 1 x 2 b
0
lim (arctgb arctg 0)
b
2

14.

б) Інтеграли від розривних функцій.
Якщо функція y f ( x) визначена та неперервна у
відкритому інтервалі: a x b ,а у точці x=b
невизначена, або має розрив, тоді інтеграл визначають
наступним чином: b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
0
a
a
Якщо границя, що стоїть у правій частині рівності, існує, то
інтеграл називають невласний збіжний інтеграл, у
протилежному випадку – розбіжний.
У випадку, коли функція має розрив у точці x = a відрізка [a,
b], то за означенням b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
0
a

15.

Якщо функція f(x) має розрив у точці x = c
всередині відрізка [a, b], то вважаємо, що
c 1
b
f ( x)dx lim
1 0
a
b
f ( x)dx lim
2 0
a
c
f ( x)dx,
2
коли обидва невласних інтеграли у правій
частині рівності існують.
1
dx
Приклад:
Обчислити
0
1
0
dx
lim
1 x 0
lim 2
0
1
0
1 x
dx
lim 2 1 x
0
1 x
1 1 1 2
1
0

16. 4. Обчислення площ плоских фігур.

Площу криволінійної трапеції, що обмежена
неперервною кривою y f ( x), ( f ( x) 0) , віссю Ох,
та двома прямими: x a, x b, a b , знаходиться
за формулою: b
S f ( x)dx
a
Якщо
f ( x) 0, x a; b , то площа відповідної
фігури обчислюється як інтеграл від абсолютного
значення функції:
b
S f ( x)dx
a

17.

Якщо плоска фігура обмежена двома неперервними
кривими, рівняння яких: y f1 ( x), y f2 ( x) ,причому
скрізь на відрізку a; b f 2 ( x) f1 ( x) , та двома
прямими: x a, x b, a b , то площа визначається
за формулою:
b
S ( f 2 ( x) f1 ( x))dx
a

18. Економічні задачі, що зводяться до обчислення визначених інтегралів

Якщо
f (t ) -продуктивність праці в момент часу t,
T
то
u
f (t ) dt -обсяг продукції, що
0
випускається за проміжок часу
u
0;T .
t2
f (t )dt -обсяг продукції, що
t1
випускається за проміжок часу
t1; t2 .

19.

Задача 1. Знайти обсяг продукції, виробленої за
чотири роки, якщо продуктивність праці
характеризується формулою: f (t ) (1 t )e3t .
Розв’язання.
Обсяг виробленої продукції дорівнює:
u 1 t
du dt
3t 4
3t
(
t
1)
e
e
U (1 t )e3t dt dv e3t dt
dt
3
3
0
0
0
3t
e
v
3
5e12 1 e12 1 14e12 2
2,53 105 ( ум.од.)
3
3 9 9
9
4
4

20. Знаходження середнього часу, затраченого на виготовлення виробу

Нехай відома функція t t ( x ) ,що описує зміни
витрат часу t на виготовлення виробу в залежності
від ступеня освоєння виробництва, де х-порядковий
номер виробу в партії. Тоді середній час t сер ,
витрачений на виготовлення одного виробу в період
освоєння від x1 до x2 виробів обчислюється за
формулою:
x2
tсер
1
t ( x)dx
x2 x1 x1

21. Задача 2.

Знайти середній час, витрачений на виготовлення
одного виробу в період освоєння від 100 до 121
виробів, якщо функція
витрат часу на виготовлення
1
виробів: t 600 x 2 .
Розв’язання.
121
1
tсер = 1 121
600
400
2
600 x
121 100
100
dx
21
2
100
7
57, 2( хв)
English     Русский Rules