Преобразование тригонометрических выражений

1.

Преобразование
тригонометрических
выражений

2. Учебные элементы

1.
2.
3.
4.
5.
6.
Синус, косинус, тангенс суммы и разности
аргументов.
Формулы двойного аргумента.(теория,
примеры, задания)
Формулы понижения степени.
Преобразование сумм тригонометрических
функций в произведения.
Преобразование произведений
тригонометрических функций в суммы.
Преобразование выражения Asinx+Bcosx
к виду Csin(x+t)

3. Синус двойного аргумента

Sin 2x = 2 sin x cos x
Доказательство.
Рассмотрим выражение sin 2x.
Sin 2x = sin (x+x) = sin x cos x + cos x sin x=
= 2sin x cos x.
Тождество доказано.

4. Косинус двойного аргумента

Cos 2x = cos2 x – sin2 x
Доказательство.
Рассмотрим выражение cos 2x.
cos 2x = cos (x+x) = cos x cos x - sin x sin x= cos2 x – sin2 x.
Тождество доказано.

5. Тангенс двойного аргумента

2tgx
tg 2 x
2
1 tg x
Доказательство.
Рассмотрим выражение tg 2x.
tgx tgx
2tgx
tg 2 x tg ( x x)
1 tgx tgx 1 tg 2 x
Тождество доказано.

6. Примеры

1.
Доказать тождество 1+sin 2x = (cos x + sin x)2
Решение.
Воспользуемся тем, что 1=sin2x+cos2x, и формулой
синуса двойного аргумента. Получим,
1+sin 2x = sin2x + cos2x + 2 sin x cos x = (cos x + sin x)2

7. Примеры

2. Сократить дробь 1 sin 2 x
Решение. cos 2 x
В числителе дроби
воспользуемся тождеством
1+sin 2x = (cos x + sin x)2,
а в знаменателе
формулой косинуса
двойного аргумента.
Получим,
1 sin 2 x (cos x sin x) 2
(cos x sin x) 2
cos x sin x
2
2
cos 2 x
cos x sin x (cos x sin x)(cos x sin x) cos x sin x

8. Примеры

3. Вычислить
sin
cos
12
12
Решение.
Заданное выражение представляет собой
правую часть формулы косинуса
двойного аргумента, но только не
хватает множителя 2. Введя его
получим:
sin cos 0,5 2 sin cos 0,5 sin( 2 ) 0,5 sin 0,5 0,5 0,25
12 12
12 12
12
6

9. Примеры

2
4. Доказать тождество tgx сtgx
sin 2 x
Решение.
Преобразуем левую часть доказываемого тождества:
sin x cos x sin 2 x cos 2 x
1
tgx сtgx
cos x sin x
cos x sin x
cos x sin x
Умножив и числитель, и знаменатель последней дроби
на 2, получим:
2
2
2 cos x sin x
Что и требовалось доказать.
sin 2 x

10. Примеры

5. Зная, что
3
сosx
5
и что x (
3
,2 ) вычислить
2
sin 2 x
Решение.
Значение cosx дано в условии, а значение sinx найдём
следующим образом: sin 2 x 1 cos 2 x 1 ( 3 ) 2 16
5
25
4
4
Это значит, что sin x
или sin x
5
5
Аргумент х принадлежит четвёртой четверти, а в ней синус
отрицателен. Это значит надо выбрать sin x 4
5
Теперь можно вычислить sin2x:
3
4
24
sin 2 x 2 sin x cos x 2 ( )
5
5
25

11. Примеры

5. Зная, что
3
сosx
5
и что x (
3
,2 ) вычислить sin(
4 x)
2
2
Решение.
Воспользуемся формулой приведения: sin( 4 x) cos 4 x
2
Применим к выражению cos4x формулу косинуса двойного
2
2
аргумента: cos 4 x cos x sin x
Из предыдущих примеров нам известны значения cos2x и sin2x.
Вычисляем:
cos 4 x cos 2 x sin 2 x (
7 2
24 2
527
) (
)
25
25
625

12. Примеры

6. Решить уравнение sin4x-cos2x=0
Решение.
sin4x-cos2x=0
2 sin2x cos2x – cos2x=0
cos2x (2sin2x-1)=0
cos2x=0 или 2 sin2x-1=0
cos2x=0
2x
2
n; x
4
n
2
.
2sin2x-1=0
1
1
sin 2 x ; 2 x ( 1) n arcsin n;
2
2
2 x ( 1) n
x ( 1) n
Ответ: x
4
n
2
; x ( 1) n
12
n
2
.
6
12
n
n
2
.

13. Задания. 1 блок.

sin 2t
sin t
cos t
1. Упростите выражение
Ответы: a) sint; b) cost; c) tgt; d) sin2t
2. Известно, что
sin t
5
,
t
13 2
Найдите tg2t
Ответы: a)120/169; b) -120/169; c) 150/333; d) 0
3. Решите уравнение
Ответы: a)
3
4
;
4
b)
cos 2 x cos 2 x
2 4
;
3 3
c)
n
d)
2

14. Задания. 2 блок.

Вычислите
1 cos 25 cos 50
tg 65
sin 50 sin 25
Ответы: a) 2 b) 0 c) 1 d) -1

15. Задания. 3 блок.

Решите уравнение
26sinx cosx – cos4x +7=0
Ответы: a)
b)
2
2 n;
( 1) k 1
c)
( 1) k
6
12
k .
k
2
4
n;
( 1) k 1
d)
.
2
6
k .
2 n;