Высшая математика Глава I. Элементы линейной алгебры
Литература
Термины
Кванторы, обозначения и сокращения
 
1. Матрицы
Матрицы
Примеры
2. Матрица-строка и матрица-столбец
3. Нулевая матрица
4. Квадратная матрица (m=n) (1.2)
Примеры
5. Диагональная матрица
Примеры
11. ТРАПЕЦИЕВИДНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ
12. Равные матрицы
1.2. Операции над матрицами
Сумма матриц
Сумма матриц
Пример
Умножение матрицы на число
Произведение матриц
Умножение матриц выполнимо, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.
Умножение матрицы на столбец Каждая строка матрицы скалярно умножается на столбец
Умножение матриц
Пример
УМНОЖЕНИЕ СТОЛБЦА НА СТРОКУ
2. Определители
Невырожденная матрица
Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число det A, называемое ее определителем, следующим образом: 1. n = 1. А = (a1); det A = a1
3. n = 3. Для вычислении определителя 3-го порядка используют правило треугольников (Саррюса).
Определитель произвольной треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали
ПРАВИЛО ЧУЖИХ ДОПОЛНЕНИЙ
3.48M
Category: mathematicsmathematics

Высшая математика. Глава 1. Элементы линейной алгебры. Матрицы и определители

1. Высшая математика Глава I. Элементы линейной алгебры

ЛЕКЦИЯ 1
Матрицы и
определители

2. Литература

• Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей
математике. Часть 1. – М.: Айрис-Пресс, 2009.
• В. С. Шипачев. Высшая математика. Базовый
курс : учеб. пособие для вузов. М.: Юрайт,
2011.
• Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей
математике. 1 курс. — М.: Айрис-пресс, 2009.

3.

• Большой объем новой информации : 1, 2, 3, 4 семестры +
специальные курсы.
• Отчётность: в зависимости от семестра: ДЗ, ТР, КР, СР, зачет,
экзамен.
• Задавайте вопросы по ходу лекций и на ПЗ.
• Подготовка к ПЗ, зачетам и экзаменам.
• Работа с учебниками.
• Консультации в семестре.
• Консультации в сессию.
• Ответы на практических занятиях.
• Тесты в «Прометее».
• Элементарная математика.
• Участие в олимпиадах.

4.

•В наши дни применительно к образованию выдвигается на
первый план задача – научить умению учиться.
учиться
•Учеба – серьёзный труд.
•Школа, вуз – специально отведенное для этого время.
•Успевать надо все – спорт, театр, книги, …
•Дальше специального времени не будет, хотя учиться
придется всю жизнь.

5. Термины

• Студент (studiosus) в переводе с латыни – старательный,
усердный, устремленный, прилежный.
• Термин «Математика» происходит от греческого слова
«mathein» [матейн] – учиться, познавать.
• «Математика – наука о количественных отношениях и
пространственных формах действительного мира». Ф. Энгельс,
«Диалектика природы», 1877 г.
• Университет (universitas) – в переводе с латинского – свернутые
воедино, совокупность людей, объединенных общей целью
(учиться).
• Инженер – даровитый, талантливый. В первоначальном
понятии это относилось к человеку, который постоянно что-то
придумывал, изобретал. К настоящему времени…
трансформировалось… в специалиста в какой-то области
техники с высшим образованием.

6.

• Математика – существеннейшая составная часть
человеческой культуры, она является ключом к
познанию окружающего мира, базой научнотехнического прогресса и важной компонентой
развития личности.
• «Царица наук» – так нередко именуют ее,
стоящую в особом ряду среди всех прочих
достижений человечества.

7.

• Человек, получивший глубокое фундаментальное образование,
способен комплексно, системно оценить последствия тех или иных
управленческих решений и обеспечить для условия устойчивого
развития общества.
• Кроме того, фундаментальное образование – основа для
последующего обучения на протяжении всей жизни, что имеет
чрезвычайно большое значение в современном обществе, в условиях
быстрой смены технологий.
• Чтобы человечество развивалось, причем развивалось плодотворно,
нужны не только лучшие умы, но и свежие идеи. А для этого
необходимы креативные люди с необычным мышлением, широким
кругозором, гибким умом.
• Чтобы все это было в человеке, нужно чтобы он совершенствовал
себя.
• Математика нужна для интеллектуального развития личности, она
содержит в себе черты волевой деятельности, умозрительного
рассуждения и стремления к эстетическому совершенству. Ее
основные и взаимно противоположные элементы - логика и интуиция,
анализ и конструкция, общность и конкретность.
• Благодаря изучению высшей математики приобретается философский
аналитический ум и способность к самостоятельному мышлению.

8.

• В рейтинге систем высшего образования, ежегодно
составляемого ЮНЕСКО, Россия опустилась за
последние 25 лет с 3 на 33 место.
• 1990 г. – 3 место;
• 2001 г. – 19 место;
• 2007 г. – 27 место;
• 2015 г. – 33 место.

9.

• «Учеба – серьёзный труд.
• Без собственных усилий ничего не выйдет. Можно купить какие
угодно книги, обучающие программы (английский во сне),
можно нанять прекрасных репетиторов, которые всё разжуют и
положат в рот. Но глотать нужно самому! Учиться должен сам.
Купить можно диплом об образовании, но не само образование.
• Преподаватель - ваш помощник, его задача – разбросать семена
знаний, ваша задача – их поймать.
• Дача знаний не самое важное. Запомните – хорошо. После
экзамена забудете – ничего – как-то проживёте. Самое важное –
подтолкнуть человека, чтобы он начал думать, размышлять (а в
каждом из вас это заложено).
• Домашняя подготовка, самостоятельная работа. Иначе на
практическом занятии нечего будет делать (без знаний нет
творчества).
• Книга! (конспект – не учебник, а канва изложения материала).
• Психологически эффективность самообразования объясняется
очень просто – полученные самостоятельно знания и навыки
человек ценит куда больше, чем те, которые преподнесли ему на
блюдечке.»

10. Кванторы, обозначения и сокращения

КВАНТОРЫ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И
СОКРАЩЕНИЯ

11.  

12. 1. Матрицы

13.

Термин «матрица»
ввел английский математик
Джеймс Джозеф Сильвестр.
1814–1897
«Математика – музыка разума».
Джеймс Джозеф Сильвестр

14. Матрицы

Матрицей размера m n называется
прямоугольная числовая таблица,
состоящая из m строк и n столбцов.
a11 a12
a
a22
21
...
...
a
m1 am 2
...
...
aij
...
Числа аij –
a1n
элементы
a2 n
(1.1) матрицы, где
... i – номер строки
amn
j – номер столбца.
A, B, C
Обозначения:
… или (aij), (bij),
(cij) ...

15. Примеры

Пример
ы
0
А
1
2
2
111
В 3 3 3
5 5 5
3
3
4
7
9 2
С 2 0
3 0
3
2

16.

1.1. Виды матриц

17.

1. Прямоугольная матрица
Матрица, в которой число строк не равно числу
столбцов, называется прямоугольной.
0 1 2
A2 х 3
1 7 0

18. 2. Матрица-строка и матрица-столбец

Матрица-строка (1 n)
A a1 a2 ... an
Матрица-столбец (n 1)
b1
b
B 2
...
bn

19. 3. Нулевая матрица

Матрица, все элементы которой
равны нулю, называется нулевой.
Обозначается буквой О.
Нулевая
0 ... 0
Оmxn ... ... ...
0 ... 0

20. 4. Квадратная матрица (m=n) (1.2)

a11 a12 .... a1n
4. Квадратная
.... a 2 n (m=n)
a 21 a 22 матрица
A
.... .... ..... .....
a
a
.....
a
n2
nn
n1
(1.2)Матрица,
у которой число строк равно числу
столбцов называется квадратной.
Квадратную матрицу размера
матрицей n - го порядка.
n n
называют

21. Примеры

Квадратные матрицы
5 11
А 2 4 2
3 1 3
3-го
порядка
7 2
B
1 5
2-го
порядка

22. 5. Диагональная матрица

a11 0 0 ... 0 0... 0
a
11 0 a 0 ... 0
А 0 0 a22 022 ...a 0... 0diag
(1. 3a
) , a ,..., a .
33
11 22
nn
... ... ... ... ... ... ...... ...
0 0 0 0 ... 0 a ... a
nn nn
Элементы квадратной матрицы с одинаковыми
индексами от a11 к ann, образуют главную
диагональ.
Квадратная матрица, у которой все элементы,
кроме элементов главной диагонали, равны нулю,

23.

Примеры
1 0 0
А 0 3 0
0 0 5
7 0
B
0 5
Диагональная матрица 3-го порядка Диагональная матрица 2-го порядка

24.

6. Единичная матрица
Диагональная матрица, у которой каждый элемент
главной диагонали равен единице,
называется единичной.
единичной
Обозначается буквой Е или I.

25.

1
0
Е2 diag 1, 1 0 1
Еn diag 1, 1, ...,1
1 0 0
Е3 diag 1, 1, 1 0 1 0
0 0 1
25

26. Примеры

7. Треугольная матрица
Квадратная матрица называется треугольной, если
все элементы, расположенные по одну сторону от
главной диагонали, равны нулю.
Примеры
верхнетреугольная
111
А 0 3 3
0 0 5
нижнетреугольная
7
B
1
0
5

27.

Матрица, полученная из данной заменой каждой
её строки столбцом с тем же номером, называется
матрицей транспонированной к данной.
Обозначается AT.
Пример
0 3
А 1 4
2 5
Þ
0
1
2
А 3 4 5
T
(АТ)Т=А

28.

9. Симметрическая матрица
• Если AT = A то матрица A называется симметрической.
симметрической
Пример
1
2
3
1 2 3
Т
С 2 3 0 Þ С 2 3 0 C
3 0 5
3 0 5

29.

10. Кососимметрическая матрица
КТ = - К
Пример
0 2 3
К 2 0 1
3 1 0

30. 11. ТРАПЕЦИЕВИДНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ

- aii 0.
- aij - любое, j>i.

31. 12. Равные матрицы

Две матрицы
A= (aij) и B=(bij)
называются равными,
равными
если
1) Размеры
матриц
совпадают
2) Соответствующие
элементы матриц
равны:
aij=bij,
i=1,…,m; j=1,…,n.

32. 1.2. Операции над матрицами

33. Сумма матриц

Сложение и вычитание матриц возможно, если
эти матрицы имеют одинаковый размер.
Суммой матриц A=(aij) и B=(bij)
размера m n называется матрица C=(cij) размера m n,
каждый элемент которой равен сумме соответствующих
элементов матриц A
и B.
cij aij bij , ( i 1 , m ; j 1 , n )

34. Сумма матриц

Пример
2 3 4 5 2 4 3 5 6 2
A B
1 0 2 8 1 2 0 8 1 8

35. Пример

Найти разность матриц
33
0 2
A 1 0 и B 3 1 .
1 2
2 2
3 3 0 2 3 0 3 2 3 1
A B 1 0 3 1 1 3 0 1 4 1 .
1 2 2 2 1 2 2 2 1 0

36. Умножение матрицы на число

Произведением матрицы A=(aij) и числа
называется матрица того же размера,
элементы которой равны aij.
2
1 2 3
А 0 0 4 Þ2 А 0
0 0 5
0
4 6
0 8 .
0 10

37.

Свойства суммы матриц и
умножения матрицы на число

38.

Пусть A, B, C, О ─ матрицы
одного размера, а , , - числа.
1. Коммутативность суммы матриц
A B B A

39.

2. Ассоциативность сложения матриц
( A B) C A ( B C )

40.

3. Дистрибутивность
( A B) A B
число.
A A A ,
, - числа.

41.

4.
А+О=А
О – нулевая матрица, того же размера, что и А.

42. Произведение матриц

43. Умножение матриц выполнимо, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

44.

Умножение
строки на столбец
b1
b2
A a1, a2 , , an , B .
b
n
AB a1b1 a2b2 anbn .
Пример
1
A 3 , 1 , 4 , B 0 .
3
AB 3 1 1 0 4 3 15.

45. Умножение матрицы на столбец Каждая строка матрицы скалярно умножается на столбец

3 1 2 8 3 8 1 7 2 2 21
4 2 0 7 4 8 2 7 0 2 46
5 6 1 2 5 8 6 7 1 2 4

46. Умножение матриц

Произведением матриц A=(aij) (размера m p)
B=(bij) (размера p n) называется матрица
C=(cij) (размера m n), элементы cij которой
вычисляются как скалярное произведение i – й строки
матрицы A и j – го столбца матрицы B.
и
Умножение матриц
b1 j
b2 j
a a a
i1 i 2
ip
b
pj
cij
.

47. Пример

2 6 1 2 0
Найти произведение матриц
.
1 2 0 1 3
2 2 6 ( 1)
2 0 6 3
2 1 6 0
1 1 ( 2) 0 1 2 ( 2) ( 1) 1 0 ( 2) 3
2 2 18
1 4 6

48.

A B B A
Вообще говоря, если произведения АВ и ВА существуют, то АВ ВА.
Если АВ=ВА, то такие матрицы называются перестановочными.
Пример.
48

49. УМНОЖЕНИЕ СТОЛБЦА НА СТРОКУ

7 5
7 2
7
0 2 5 3 0 2
0
5
4
4 2 4 5
14 35 21
0
0
0
8 20 12
7 3
0 3
4 3

50.

При условии, что операции в обеих частях
равенств выполнимы, справедливы
следующие свойства.
Свойства произведения матриц
1. А · О = О;
2. А · Е = А;
3. А · В ≠ В · А;
4. α (АВ) = (αА) · В = А · (αВ);
5. АВС = (АВ) · С = А · (ВС);
6. А (В + С) = АВ + АС;
7. (А · В)Т =ВТ · АТ.

51. 2. Определители

52.

Вильгельм Готфрид
Лейбниц
(1646-1716) — саксонский
философ, логик, математик,
механик, физик, юрист,
историк, дипломат,
изобретатель и языковед.
Понятие «определитель»
принадлежит Г. Лейбницу
(1678).

53.

Определитель (детерминант) –
числовая характеристика квадратной матрицы.
Обозначения определителя матрицы А:
|A|, det A, .

54. Невырожденная матрица

• Квадратная матрица А называется
невырожденной,
невырожденной если её определитель
det А 0.
• В противном случае (det А = 0) матрица
А называется вырожденной.

55. Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число det A, называемое ее определителем, следующим образом: 1. n = 1. А = (a1); det A = a1

2. n = 2.
a11
| A |
a21
a12
a11 a22 a12 a21
a22
• Вычисление определителя 2-го порядка
Квадратной
матрице
А порядка n можно сопоставить
иллюстрируется
схемой:
число det A, называемое ее определителем, следующим
образом:
1. n = 1. А = ( a1); det A = a1
Пример.

56. 3. n = 3. Для вычислении определителя 3-го порядка используют правило треугольников (Саррюса).

a11a12 a13
det A a21a22 a23 a11a22 a33 a12 a23a31
a31a32 a33
a13a21a32 a31a22 a13 a32 a23a11 a33a21a12

57.

*
*
*
*
*
*
* *
* *
* *
*
*
*
*
*
*

58.

Пример. Вычислить
определитель третьего порядка
5 2
= 3
6
1
1
4
0
3
=5•1•(-3) +
+(-2)•(-4)•6 +
+ 3•0•1–6•1•1–
–3•(-2)•(-3) –
– 0•(-4)•5 =
–15+48–6–18=
=48–39=9.

59.

Пример. Вычислить определитель с помощью
правила диагоналей
5 2
= 3
6
1
0
- -
1
4
3
-+ + +
=5•1•(-3) +
+(-2)•(-4)•6 +
+ 3•0•1–(6•1•1+
+ 0•(-4)•5+
+3•(-2)•(-3)) =
–15+48–(6+18)=
=33–24=9.

60. Определитель произвольной треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали

61.

Минор элемента аi j
• Минором некоторого элемента aij квадратной матрицы
А n-го порядка называется определитель n –1-го
порядка матрицы, полученной из исходной путем
вычеркивания из А строки и столбца, на пересечении
которых находится выбранный элемент aij , минор
обозначается Мij.
3
7
А 0
5
2
3
5
7
5
4
6
9
a23=4
1
2
2
4
3 2 1
M23 0 5 2 60 20 0 250 0 42 13
5 7 4
M31=5
M14=11

62.

Алгебраическое дополнение Aik
• Алгебраическим дополнением элемента aik
квадратной матрицы А называется число Аik :
Для предыдущего примера:

63.

ФОРМУЛА ЛАПЛАСА
Теорема. Определитель матрицы равен сумме
произведений элементов любого ее ряда на
соответствующие им алгебраические a11 a12 a13
дополнения.
a21 a22 a23
a
Разложение определителя по 31
a32
элементам первой строки:
a33
det A a 11 A11 a 12 A12 a 13 A13 .
Пьер-Симоон, маркиз де
Лаплаос (1749 - 1827) —
французский математик,
механик, физик и астроном

64.

2 1 1
4 3
1 1
2 4 3 2
2
17 12
17 12
11 17 12
1 1
11
2( 48 51) 2(12 17) 11(3 4)
4 3
6 10 11 5.
4
1
0
3
4
1
3
4 1
1 3
2 2 3 1 2 5
5
2 3 0 1
3
1
2
3
5 0 5
5 0 0 5
3
5
2
4
2(5 10 5 ( 14)) 2(50 70) 2 120 240

65. ПРАВИЛО ЧУЖИХ ДОПОЛНЕНИЙ

• Сумма произведений элементов любого ряда кв. матрицы
на
алгебраические
дополнения
соответствующих
элементов другого ее параллельного ряда равна нулю.

66.

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
1. Транспонирование матрицы не меняет значения ее
определителя.
det A det A
T
3 5 6 3 4 5
4 2 1 5 2 3
5 3 2
6 1 2

67.

Свойства определителей
2. При перестановке двух параллельных рядов определитель
меняет знак.
3. Если соответствующие элементы двух параллельных рядов
равны или пропорциональны, то определитель равен 0.
4. Общий множитель элементов какого-либо ряда можно
вынести за знак определителя.
5. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда
прибавить соответствующие элементы параллельного ряда,
умноженные на одно и то же число.
6. Определитель матрицы, содержащей целый ряд из нулей,
равен нулю.
7. detЕ 1
8. det( A B ) det A det B

68.

9. Если элементы какой-либо ряда квадратной матрицы
А состоят из двух слагаемых, то определитель А равен
сумме определителей двух матриц, различающихся
между собой только элементами этого ряда, бывшими
ранее отдельными слагаемыми.
а11
а11
а 21
а 21
а31
а31
а12
а13
а 22
а 23
а32
а33
а11
а 21
а31
а12
а13
а 22
а 23
а32
а33
а11
а 21
а31
а12
а13
а 22
а 23 .
а32
а33

69.

«А математику уже затем учить
следует, что она ум в порядок
приводит».
М. В. Ломоносов
Спасибо за внимание!
English     Русский Rules