Комплексные числа
Функции комплексного переменного
Линии и области на комплексной плоскости
777.50K
Category: mathematicsmathematics

Элементы теории функций комплексного переменного

1.

Томский
Томский политехнический
политехнический университет
университет
Доцент, к.ф.м.н.
Богданов Олег Викторович
Элементы теории функций комплексного
переменного (Пр.2)
2016

2. Комплексные числа

Понятие комплексного числа.
В множестве действительных чисел действие извлечения
корня четной степени из отрицательного числа невыполнимо.
Выражения
1, 9 , 4 7 не имеют смысла и, поэтому, уравнения
x 2 1 = 0, x 4 16 = 0, x 2 6 x 25 = 0
на этом множестве решений не имеют.
Для того, чтобы сделать возможным извлечение корня четной степени
из отрицательного числа множество действительных чисел было
расширено добавлением к нему множества мнимых чисел.
1,
О п р е д е л е н и е 1. Число, квадрат которого равен
называется мнимой единицей и обозначается буквой
i 2 = 1 .
i.

3.

Итак, используя мнимую единицу, можно записать корни квадратных уравнений:
x 2 1 = 0,
x 2 1, x1, 2 1 i
x 2 4 = 0, x 2 4, x1, 2 4 4 ( 1) 2 1 2i
x 2 6 x 25 = 0, x1, 2 3 9 25 3 16
3 16 ( 1) 3 4 1 3 4i
1 1 8 1 7
x x 2 = 0, x1, 2
2
2
1 7 ( 1) 1 7 i
1
7
i
2
2
2 2
2

4.

О п р е д е л е н и е 2. Число вида
x, y
действительные числа, а
z = x i y, где
i мнимая единица,
называется комплексным числом.
Число
x
называется действительной частью комплексного числа
и обозначается
Число
y
x = R e z = R e( x i y )
называется мнимой частью числа и обозначается
y = Im z = Im( x i y )
Запись комплексного числа в виде
z = x i y,
называется алгебраической формой записи комплексного числа.
Число
z = iy, не содержащее действительной части,
называется чисто мнимым числом.
О п р е д е л е н и е 3. Комплексное число, имеющее ту же действительную
и противоположную по знаку мнимую часть, называется
z = x i y и обозначается
комплексно-сопряженным с числом
z = x i y = x i y.

5.

О п р е д е л е н и е 4. Число
z = x iy
и обозначается
x2 y 2
| z |, или
называется модулем числа
r:
| z |= r = x 2 y 2 .
Очевидно, что
| z | 0
Действия над комплексными числами в алгебраической форме
1. Условие равенства комплексных чисел: два комплексных числа
z1 = x1 i y1
и
z2 = x2 i y2
равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части
z1 = z1
x1 = x2 , y1 = y2 .

6.

2. Сложение и вычитание комплексных чисел:
при сложении и вычитании комплексных чисел складываются и
вычитаются их действительные и мнимые части
(2 3i ) (1 4i ) = (2 1) i ( 3 4) = 3 i,
(3 5i ) (2 4i ) = (3 2) i ( 5 4) = 1 9i,
(1 4i ) ( 3 2 i ) (1 3 ) i (4 2 ).
3. Умножение комплексных чисел на постоянное число:
при умножении комплексных чисел на постоянное число нужно умножить
на это число его действительную и мнимую части
2 (3 i ) 6 2i,
5 (4 2i ) = 20 10i,
i (1 2i ) = i 2i 2 = i 2 , так как
i 2 = 1 .
Можно совместить два действия
2 (3 i ) 5 (4 2i ) = 6 2i 20 10i = 26 8i,
4 (2 i ) i (1 2i ) = 8 4i i 2i 2 = 8 5i 2 = 10 5i.

7.

4. Умножение комплексных чисел :
при умножении двух комплексных чисел нужно умножить их как обычные
многочлены, учесть, что
i 2 = и1 привести подобные
(2 3i )(1 4i ) = 2 8i 3i 12i 2 = 2 5i 12 = 14 5i,
(3 5i )(2 4i ) = 6 12i 10i 20i 2 = 6 2i 20 = 26 2i,
(4 3i ) 2 = 16 24i 9i 2 = 16 24i 9 = 7 24i
Найдем произведение двух комплексно-сопряженных чисел
z z = ( x iy )( x iy ) = x 2 ixy ixy i 2 y 2 = x 2 y 2 .
Итак, произведение
z z = x 2 y 2 =| z |2 .
есть действительное число, равное сумме квадратов действительной и
мнимой части комплексного числа. Или: произведение двух
комплексно-сопряженных чисел равно квадрату модуля комплексного числа
2
2
(3 2i ) (3 2i ) = 3 2 = 13.
(1 i ) (1 i ) = 12 12 = 2.
( 3 2i ) ( 3 2i ) = ( 3 ) 2 ( 2 ) 2 = 3 2 = 5.

8.

З а м е ч а н и е. Используя результат произведения
комплексно- сопряженных чисел, можно проводить разложение
на множители суммы квадратов действительных чисел
x 2 y 2 = ( x iy )( x iy ).
x 2 25 = ( x 5i ) ( x 5i ).
x 2 4 x 5 = x 2 4 x 4 1 = ( x 2) 2 1 = ( x 2 i )( x 2 i ).
5. Деление комплексных чисел :
при делении двух комплексных чисел нужно умножить числитель и знаменатель
дроби на сопряженное знаменателю выражение, провести умножение в
числителе и упростить с учетом, что в знаменателе будет произведение
сопряженных чисел, т.е. действительное число
2 3i (2 3i )(1 4i ) 2 3i 8i 12i 2
(2 3i ) : (1 4i ) =
=
=
=
1 4i (1 4i )(1 4i )
1 16
10 11i
10 11
=
= i.
1 16
17 17
(4 5i ) : i =
4 5i (4 5i )( i )
=
=| i 2 = 1 |= 4i 5i 2 = 5 4i.
i
i ( i )
1 1 ( i ) i
=
=
= i
i i ( i ) 1
1
= i.
i

9.

Построение комплексных чисел на плоскости
В декартовой системе координат на плоскости на оси OX откладывается
действительная часть комплексного числа, и ось OX называется
действительной осью, а на оси OY откладывается мнимая часть комплексного
числа, и ось OY называется мнимой осью комплексной плоскости XOY.
Тогда комплексное число изображается точкой на плоскости с координатами
x
и
y,
а также радиус-вектором этой точки
OM = {x, y}.
Длина радиуса-вектора точки есть модуль комплексного числа
| z |=| OM |= x 2 y 2 .

10.

Тригонометрическая форма записи комплексного числа
Положение точки
z = x iy
комплексной плоскости определяется
не только декартовыми
( x, y ),
(r , )
но и полярными координатами
расстояние от точки до
где
r начала координат, т.е. длина
или модуль радиус-вектора,
угол между положительным направлением действительной оси
и радиусом-вектором.
Этот угол называется
аргументом
комплексного числа и определяется с точностью до
Множество всех значений угла обозначается
Arg z
При работе с комплексными числами обычно используется так
называемое главное значение аргумента
= a, rg z
которое удовлетворяет условию
Таким образом,
arg z ,
Arg z = arg z 2 k .
2 k , k = 1,2,3,...

11.

Из рисунка видно, что
x = r cos , y = r sin ,
z x iy r cos i r sin
и любое комплексное число
можно представить в виде
z = r (cos i sin ).
Подобная запись называется тригонометрической формой записи
комплексного числа.
Число, комплексно-сопряженное к данному, запишется в виде
z = r (cos i sin ).
Любое число можно перевести из тригонометрической формы записи
в алгебраическую и обратно. Кроме того, из тригонометрической формы
записи можно получить еще показательную форму записи комплексного числа.

12.

Принято определять аргумент числа в зависимости от знаков
действительной и мнимой частей числа следующим образом:
arctg
= arg z = arctg
arctg
y
x
x > 0, (I, IV ),
y
x
x < 0, y 0, (II),
y
x
x < 0, y 0, (III)
Приведем значения арктангенсов некоторых углов
arctg 0 = 0,
arctg = /2,
arctg (1/ 3 ) = /6,
arctg 1 = /4,
arctg ( 3 ) = /3,
arctg ( ) = /2.
arctg ( 1/ 3 ) = /6,
arctg ( 1) = /4,
arctg ( 3 ) = /3.

13.

Зачастую в расчетах далеко не всегда участвуют основные острые углы,
тангенсы которых известны. В случае произвольного угла используем
калькулятор, который с некоторой степенью точности даст значение угла
в радианах или в градусах:
arctg (2,835) 1.23 70,6 o ,
arctg (67,83) 1.56 89,2 o ,
arctg ( 0,324) 0,31 18o.
Для правильного определения аргумента следует всегда изобразить
число на комплексной плоскости для того, чтобы определить, в какой
четверти находится данное число. .
Рассмотрим примеры нахождения аргумента комплексных чисел.

14.

z 4, arg (4) = arg (4 0 i ) = arctg (0/4) = arctg 0 = 0,
z 4, arg ( 4) = arg ( 4 0 i ) = arctg (0/( 4)) = arctg 0 = ,
z 3i, arg (3i ) = arg (0 3i ) = arctg (3/0) = arctg = /2,
z 3i, arg ( 3i ) = arg (0 3i ) = arctg ( 3/0) = arctg ( ) = /2,
z 1 i, arg (1 i ) = arctg (1/1) = arctg 1 = /4
z 1 i, arg (1 i ) = arctg ( 1/1) = arctg ( 1) = /4,
z 1 i, arg ( 1 i ) = arctg (1/( 1)) = arctg ( 1) = /4 = 3 /4,
z 1 i, arg ( 1 i ) = arctg ( 1/( 1)) = arctg 1 = /4 = 3 /4.

15.

Если значения аргумента не являются табличными, то вычисления
арктангенсов выполняются с помощью калькулятора и аргумент
записывается с учетом четверти, в которой находится комплексное
число.
arg (3 5i ) = arctg (5/3) =
arctg 1,667 1,030 59 o
arg ( 4 7i ) = arctg ( 7/4)
= arctg ( 1,75) 1,05 3,14 2,09
60,3o 180 o 119,7 o
arg ( 3 2i ) = arctg (2/3) =
arctg 0,667 0,588 3,14 2,55
33,7 o 180o 146,3o
arg (6 i ) = arctg ( 1/6) =
arctg ( 0,167) 0,165 9,5o.

16.

Комплексное число в показательной форме
Пусть комплексное число записано в тригонометрической форме
z = r (cos i sin ).
Воспользуемся формулой Эйлера
cos i sin = ei .
Тогда получим
Выражение
z = r (cos i sin ) = re i .
z = re
i
- показательная форма записи числа .
Отметим, что комплексно-сопряженное число в показательной
форме будет иметь вид
z = re
i
.
Показательная и тригонометрическая формы записи комплексного числа
применяется для выполнения операций умножения, деления комплексных
чисел, а также для возведения в целую положительную степень и
извлечения корня.

17.

Действия над комплексными числами в показательной и
тригонометрической формах
Пусть
z1 = r1 e
i 1
z1 z2 = r1 e
, z2 = r2 e
i 1
r2 e
i 1
i 2
z1: z2 = r1 e : r2 e
i 2
= r1 r2 e
i 2
i ( 1 2 )
.
r1 i ( 1 2 )
= e
.
r2
a) При умножении комплексных чисел их модули перемножаются,
а аргументы складываются.
b) При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
3e3 i/4 2e 2 i/3 = 6ei (3 /4 2 /3) = 6 e(17 /12) i ,
4e i/4 5e i/3 = 20ei ( /4 /3) = 20 e i/12 ,
3e3 i/4 3 i (3 /4 2 /3) 3 i/12
2 i/3 = e
= e
,
2
2
2e

18.

Отметим ряд интересных результатов
Число
i
имеет модуль равный единице, и аргумент
i
Поэтому, при умножении на число
к аргументу прибавится
изображающего число
,
2
z,
,
2
некоторого числа
т.е.
i = ei /2 .
z = r ei
что приведет к повороту вектора,
на
90o
в положительном направлении
без изменения длины.
Перевод числа из одной формы записи в другую
1. От алгебраической к тригонометрической и показательной
Для перехода к тригонометрической и показательной форме
представления комплексного числа находим:
1) модуль числа по формуле
r =| z |= x 2
2) аргумент числа
= arg z
y2 ,

19.

z = x iy z r (cos i sin ), z r e i
1. z = 1 i =
r =| z |= 1 1 = 2
= arg z = arctg1 = /4
i
z = 1 i = 2e 4 ,
z = 1 i = 2 cos i sin
4
4
2. z = 1 i 3 =
r =| z |= 1 3 = 2
= arg z = arctg ( 3 ) = /3
i
z = 1 i 3 = 2e 3 .
z = 1 i 3 = 2 cos i sin
3
3

20.

3. z = 5 2i =
r =| z |= 25 4 = 29 , = arg z =
= arctg ( 0.4) 0,38 3,14 = 2,76
arctg ( 0.4) 21,8o 180o = 158,2o
z = 5 2i = 29 e 2,76i .
z = 5 2i = 29 cos 2,76 i sin 2,76 .
z = 5 2i = 29 cos158,2o i sin 158,2o .
r =| z |= 12 4 = 16 = 4, = arg z =
2
1
4. z = 2 3 2 i = = arctg
= arctg
=
2 3
3
5
= =
6
6
5
i
5
5
z = 2 3 2 i = 4e 6 .
z = 2 3 2 i == 4 cos i sin .
6
6

21.

z = 4, | z |= 4, arg (4) = 0 z = 4 e0 i = 4 (cos 0 i sin 0).
z = 4, | z |= 4, arg ( 4) = z = 4 e i = 4 (cos i sin ).
/2 i
z = 3i, | z |= 3, arg (3i ) = z = 3 e =3 cos i sin .
2
2
2
z = 3i, | z |= 3, arg ( 3i )= z=3 e /2 i =3 cos i sin .
2
2
2

22.

2.
От показательной к алгебраической
Пусть комплексное число задано в показательной форме
z = r e i
Для перехода к алгебраической форме:
1) сначала переходим к тригонометрическому представлению числа
z = r ei = r (cos i sin ) = r cos i r sin .
2) Вычисляем
cos , sin .
3) Находим действительную
x = r cos
и мнимую
y = r sin
части числа и записываем окончательно число в алгебраической форме
z = x iy

23.

z = e 2 i = cos 2 i sin 2 = 1 i 0 = 1.
z = e i = cos i sin = 1 i 0 = 1.
z = 2e i = 2[cos i sin ] = 2( 1 i 0) = 2.
i
z = e 2 = [cos i sin ] = (0 i ) = i.
2
2
i
z = e 2 = [cos
i sin
] = (0 1 i ) = i.
2
2
2 i
2
2
1
3
3
3 3
z=3e 3 =3[cos(
) i sin (
)] = 3( i
)= i
.
3
3
2
2
2
2
2,015i
z = 7e
= 7[cos( 2,015) i sin ( 2,015)]
7( 0,43 0,90 i ) = 3,01 6,32i.

24.

Возведение в степень и извлечение корня
Показательная и тригонометрическая форма записи комплексных чисел
Удобна для выполнения действий возведения в большую степень
и извлечения корня
n
z = re
n
n
z = re
i ( 2 k ) n
i ( 2 k )
n
=r e
i ( n 2 nk )
n
=r e
i n
.
2 k
i
n
n
n
= re
, (k = 0, 1, ..., n 1).
Соответствующие формулы в тригонометрической форме называются
формулами Муавра
n
n
z = r (cos n i sin n ).
n
2 k
2 k
z = n r cos
i sin
, (k = 0, 1, ..., n 1).
n
n

25.

Задача. Выполнить действия с комплексными числами в
тригонометрической и показательной формах.
1. ( 2 3 2 i ) 6 .
Перейдем к показательной форме записи. Изобразим число
на комплексной плоскости. Оно находится в 3-ей четверти.
1) Находим модуль числа
| 2 3 2i |= 4 3 4 = 16 4.
2) Находим аргумент
2
arg ( 2 3 2i ) = arctg
=
2 3
1
5
arctg
= = .
6
6
3
3) Записываем число
4) Возводим в степень
z = 4 e 5 i/6 .
z = 4 e
=4 e
=2 e
=
= 412 (cos( 5 ) i sin ( 5 )) = 412 cos( 5 ) = 412.
6
5 i/6 6
6
( 5 i/6) 6
12
5 i

26.

2.
3
2 2i .
Записываем число в показательной форме
3
2 2i = 8 e
i (3 /4 2 k )
| 2 2i |= 4 4 = 8.
.
При извлечении корня 3-ей степени
получим 3 значения корня.
Записываем выражение для вычисления
всех корней
3
i =3
i (3 /4 2 k )
3
8e
= 2 ei ( /4 2 k/3)
и перебираем значения
до
k
k = (n 1) = 3 1 = 2.
от
k =0

27.

3
2 2i =
k = 0: = 2e
i ( /4)
= 2 cos i sin =
4
4
2
2
= 1 i.
= 2
i
2
2
11
11
k = 1: 2 e
= 2 cos
i sin
12
12
1,4 ( 0,97 0,26 i ) 1,36 0,36 i.
i ( /4 2 /3)
19
19
k = 2: 2e
= 2 cos
i sin
12
12
1,4 (0,26 0,97 i ) 0,36 1,36 i.
i ( /4 4 /3)

28.

3.
Вычислить
z1 z 2
,
z1 z 2
если
z1 = 1 2i, z 2 = 3 4i.
Выполним сложение и умножение чисел в алгебраической форме
(1 2i ) ( 3 4i ) 3 6i 4i 8i 2
=
(1 2i ) ( 3 4i )
2 2i
3 6i 4i 8 11 10i
,
2 2i
2 2i
а затем деление
(11 10i )( 2 2i ) ( 22 20i 22i 20i 2 ) 22 2i 20
=
2
2
( 2 2i )( 2 2i )
( 2) 2
4 4
42 2i
42 2
21 1
i i 5,25 0,25i,
8
8
8
4
4

29. Функции комплексного переменного

О п р е д е л е н и е. Если каждому значению комплексной переменной
z = x iy
соответствует определенное значение комплексной переменной
w = u iv ,
то говорят, что переменная
и пишут
независимой переменной
z
w
есть функция
w = f ( z)
Аналогично тому, что задание комплексного числа равносильно заданию
пары действительных чисел, задание функции комплексной переменной
z
x
равносильно заданию двух функций пары действительных переменных
и
y
w = f ( z ) = u ( x, y ) i v ( x, y )
u ( x, y ) Re w( z ), v( x, y ) Jm w( z ),
А именно:
Преобразования, целью которых служит нахождение функций
u ( x, y ), v( x, y ),
называется выделением действительной и мнимой
частей функции комплексного переменного.

30.

1. w = z 2 u iv = ( x i y ) 2
u i v = x 2 2i x y (i y ) 2 = ( x 2 y 2 ) i 2 xy, u = x 2 y 2 , v = 2 xy.
z
2. w =
.
z 3i
z
x iy
x iy
( x i y )( x i( y 3))
=
=
=
=
2
2
z 3i x i y 3i x i( y 3)
x ( y 3)
x 2 ixy ix ( y 3) i 2 y ( y 3) x 2 y ( y 3)
3x
=
= 2
i 2
.
2
2
2
2
x ( y 3)
x ( y 3)
x ( y 3)
x 2 y ( y 3)
3x
u= 2
, v= 2
.
2
2
x ( y 3)
x ( y 3)

31.

Основные элементарные функции
w = zn
1. Степенная функция
w = z 3 = ( x i y )3 = x3 3 x 2 (iy ) 3 x(iy ) 2 (iy )3 =
= x3 i3x 2 y 3xy 2 i 3 y 3 =
= x3 3 xy 2 i3 x 2 y i y 3 = ( x3 3 xy 2 ) i (3x 2 y y 3 ),
3
2
2
3
u ( x; y ) = x 3xy , v( x; y ) = 3 x y y .
Отметим, что при
n 3
можно пользоваться алгебраическим
представлением комплексного числа, а при больших значениях
показателя степени -- тригонометрическим или показательным.

32.

2. Показательная функция
w = e z = e x i y
z
w=e
= e x ei y = e x (cos y isin y ).
Выделяем действительную и мнимую части функции
Ree z = e x cos y, Ime z = e x sin y,
а также находим модуль и аргумент
| e z |= e x ,
arg e z = y.
Основные правила
z1 z2
e
=
z1 z2
e e .
e
z1 z 2
=
e
z1
e
z2
,
e
z n
nz
=e .
Вычислим значения функции в некоторых точках
1. ei /2 = cos /2 i sin /2 = i.
2. e i = cos1 i sin 1 = 0,54 0,84i.
3. e 2 5i = e 2 (cos 5 isin 5) 7.39(0,28 0,96i ) 2,07 7,09i.

33.

w = ln z
3. Логарифмическая функции
z = x iy
Если комплексную переменную
и
w = Ln z
представить
в показательной форме
z =| z | ei Arg z =| z | ei ( 2 k )
, где
| z |= x 2 y 2 , модуль
= arg z
аргумент числа
w = Ln z = Ln| z | ei Arg z = ln | z | ei ( 2 k ) = ln | z | i( 2 k ).
w = ln z = ln | z | ei arg z = ln | z | i arg z = ln| z | i .
Ln z = ln| z | i(arg z 2 k ),
Действительная часть функции
мнимая --
ln z = ln | z | i arg z
u ( x; y ) = ln | z |,
v( x; y ) = Argz .
w = ln z
-- главное значение логарифма при
k =0

34.

Свойства логарифмов:
ln ( z1z2 ) = ln z1 ln z2 , ln ( z1/z2 ) = ln z1 ln z2 ln z = ln z.
Задача. Вычислить значения логарифмов
1. Ln( 1 3i ) =|
| 1 3i |= 1 3 = 2,
arg ( 1 3i ) = 2 /3
|=
= ln 2 i (2 /3 2 k ) 0,69 i(2,09 6,28k ), (k = 0; 1; 2;...).
2. ln ( 6) =|
| 6 |= 6,
arg ( 6) =
|= ln 6 i 1,79 3,14i.

35.

4. Тригонометрические функции
w = sin z , w = cos z , w = tg z , w = ctg z.
Эти функции определяются через функцию
w = ez
по формулам Эйлера
eiz e iz
sin z =
,
2i
sin z 1 eiz e iz
tg z =
= iz
,
iz
cos z i e e
Функции
w = sin z
и
eiz e iz
cos z =
.
2
cos z eiz e iz
ctg z =
= i iz
.
iz
sin z
e e
w = cos z
не являются ограниченными
и в этом их самое существенное отличие от обычных тригонометрических
функций.

36.

Вычислим значения тригонометрических функций.
e i ( i ) e i ( i ) e e
i
sin ( i ) =
=
(0,04 23,10) 11,58i.
2i
2i
2
e i (3 2i ) e i (3 2i )
cos(3 2i ) =
= 0,5[e 2 e 3i e 2 e 3i ] =
2 2
2
= 0,5[e (cos 3 i sin 3) e (cos 3 i sin 3)] =
= 0,5[cos 3(e 2 e 2 ) i sin 3(e 2 e 2 )] = 3,72 0,51i.
5. Гиперболические функции
w = sh z , w = ch z , w = th z , w = cth z.
e z e z
e z e z
sh z
ch z
sh z =
, ch z =
, th z =
, cth z =
.
2
2
ch z
sh z

37.

Справедливы следующие соотношения
sin (iz ) = ish z ,
cos(iz ) = ch z ,
sh(iz ) = i sin z ,
ch(iz ) = cos z ,
tg (iz ) = i th z ,
ch 2 z sh 2 z = 1,
ctg (iz ) = icth z ,
sh 2 z ch 2 z = ch2 z.
С помощью гиперболических функций можно записать формулы
sin z = sin ( x i y ) = sin xch y icos xsh y,
cos z = cos( x i y ) = cos xch y isin xsh y,
Эти формулы применяются для вычислений тригонометрических и
гиперболических функций

38.

Вычислить значения:
i
1. sh = i sin = i,
2
2
2. chi = cos = 1.
e (1 2i ) e (1 2i ) e1e 2i e 1e 2i
3. sh(1 2i ) =
=
=
2
2
e1 (cos 2 i sin 2) e 1 (cos 2 i sin 2)
=
2
0,98 2,81i
0,49 1,4i.
2
4. cos(3 2i ) = cos 3 ch2 i sin 3 sh 2
0,99 3,76 i 0,14 3,63 3,72 0,51i.

39. Линии и области на комплексной плоскости

Задача. Построить линии, заданные
соотношениями
z 2
1. |
|= 3.
z i
|
z 2
|= 3 | z 2 |= 3 | z i |
z i
| z 2 |= 3 | z i | | x i y 2 |= 3 | x i y i | ( x 2) 2 y 2 =
= 3 x 2 ( y 1) 2 x 2 4 x 4 y 2 = 9( x 2 y 2 2 y 1)
8 x 2 8 y 2 4 x 2 y 4 = 0 ( x 1/4) 2 ( y 9/8) 2 = 45/64.
Центр окружности
O ( 1/4; 9/8)
Радиус
45/64 0,84.

40.

2. Im( z 2 3 z ) = 1.
Проведем преобразования
2
2
x
2
ixy
y
3 x 3iy =
z 3 z = ( x iy ) 3( x iy ) =
2
2
= x 2 3 x y 2 i (2 xy 3 y ).
Выделим мнимую часть выражения и приравняем к единице
1/2
Im( z 3 z ) = 1 2 xy 3 y = 1 y =
.
x 3/2
2
Линия представляет собой гиперболу
English     Русский Rules