Показательное распределение

1. §3.6.2.2. Показательное распределение

2.

Показательным (экспоненциальным)
распределением СВ называют распределение
СВ, которое описывается плотностью
распределения
0 , x 0 ,
р(х)=
exp( x ), x 0 ,
где -положительная постоянная величина.
x
0
x
F ( x ) p( y )dy 0dx exp( x )dx 1 exp( x )
0

3.

4.

Найдем функцию распределения:
0 , x 0 ,
F( x )
1 exp( x ), x 0
Определим числовые характеристики
распределения.
Вычислим МО по формуле:
1
M[X]= xp( x )dx x exp( x )dx x exp( x )d ( x )
0
0

5.

Обозначим
y= x,
dy=d( x).
и проинтегрируем интеграл по частям,
полагая
u=y,
du=dy,
а dv=exp(-y)dy, v=-exp(-y).
Тогда после всех преобразований получим:
M[X]=1/ .
Вычислим дисперсию
D[X]= 2[X]–(M[X])2

6.

Определим второй начальный момент:
1
2 [ X ] x 2 p( x )dx x 2 exp( x )dx ( x 2 ) exp( x )d ( x )
2 0
0
Введем обозначения
y= x,
dy=d( x)
и проинтегрируем интеграл по частям, полагая
u=y2, du=2ydy, а dv=exp(-y)dy, v=-exp(-y).
Тогда после всех преобразований получим
2[X]=2/ 2.

7.

Дисперсия и стандартное отклонение
соответственно:
D[X]= 2[X]–(M[X])2 =1/ 2;
=1/ .
Показательный закон широко используется в
теории надежности при исследовании
отказов и безотказной работы процессов и
систем.

8. §3.6.2.3. Нормальное распределение

Нормальный закон распределения
(закон Гаусса) наиболее часто встречающийся
на практике закон распределения,
описывающий случайные возмущения и
отклонения основных характеристик
процессов и систем, ошибки измерений и т.д.

9.

Этот закон является предельным
законом, к которому приближаются другие
законы распределения при весьма часто
встречающихся типичных условиях.
Непрерывная СВ называется
распределенной по нормальному закону,
если ее плотность вероятности определяется
выражением:
р(х)=
1
2
2
exp[ ( x m ) /( 2 )].
x
2

10.

Кривая
нормального
закона имеет
вид:
Максимальное значение max p(x) достигается
при значении x=mx и равно
max p(x)=1/ 2 . При х плотность
р(х) 0. Параметры mx и называются
параметрами распределения.

11.

Вычислим основные характеристики СВ Х. МО:
1
2
2
M [ X ] xp( x )dx
x exp[ ( x m x ) /( 2 ) ] dx
2
Полагая, что
dx 2dt
t
x m
x
2
и
x 2t mx
получим
1
2
M[X ]
( 2t m x ) exp[ t ] 2dt
2
2
exp[ t 2 ]
exp[ t 2 ]dt m x
2
,

12.

т.к.
и
2 ]dt 0
t
exp[
t
2 ]dt
exp[
t
- интеграл Эйлера-Пуассона.
Т.о.
M[X]= mx .

13.

Определим теперь дисперсию:
2
D[ X ] ( x mx ) p( x)dx
1
2 exp[ ( x m )2 /(2 )2 ] p( x)dx
(
x
m
)
x
x
2
x m
Заменим переменную
x
t
2
и
применим интегрирование по частям (u=t,
dv=2texp(-t2)dt, du=dt, v=-exp(-t2))

14.

После всех преобразований получим D[X]= 2 ,
поскольку -exp(-t2) при t убывает быстрее,
чем возрастает t.
Рассмотрим влияние параметров нормального
распределения на форму кривой
распределения.
Из выражения для плотности вероятности
нормального распределения следует, что mx
является центром симметрии и рассеивания,

15.

Т.к. изменение (х-mx) на обратный знак не влияет
на кривую распределения. Увеличение или
уменьшение mx ведет к смещению кривой
распределения

16.

Увеличение или уменьшение 2 ведет
соответственно к увеличению крутизны и
пологости кривой распределения .
Т.о. параметр mx
характеризует
положение кривой
Распределения
на оси х, а параметр
2 характеризует
форму кривой.

17.

x mx
1
F [ X ] Ф
2

18.

19.

20.

Правило трёх сигм.
Если случайная величина распределена
нормально, то абсолютная величина её
отклонения от математического ожидания не
превосходит утроенного среднего
квадратического отклонения с вероятностью
0,9973.
Если закон распределения СВ
неизвестен, а известны только m и , на
практике обычно считают отрезок m 3 ,
участком практически возможных значений
СВ.