Свойства дифференцируемых функций
Свойства дифференцируемых функций
Правила вычисления производных
Правила вычисления производных
Правила вычисления производных
Правила вычисления производных
Правила вычисления производных
Правила вычисления производных
Таблица производных
Список использованных источников
781.50K
Category: mathematicsmathematics

Производная и дифференцируемость функции

1.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Оренбургский государственный университет»
Кафедра прикладной математики
И.Г. Руцкова
Электронный курс лекций «Математический анализ»,
часть 8
Оренбург 2017

2.

Производная: основные понятия и определения
lim x lim x x0 0
x x0
x x0

3.

Производная: основные понятия и определения

4.

Производная: основные понятия и определения

5.

Производная: основные понятия и определения

6.

Дифференцируемость функции в точке

7. Свойства дифференцируемых функций

U x 0 :
f x0 A x x , A R; x x , x 0
Доказательство.
1)
f x D x0
f x0
x
f x0
A
, x 0; lim
A, A R ;
x
x
x 0 x
2) f x0 B , B R
U x 0
f x0
B x , x 0;
x
f x0
B;
x 0 x
lim
f x0 B x x x , x 0
U x0 : f x0 B x x x.
x
x x
lim
lim x 0,
x 0 x
x 0
x 0
x
lim
f x0 A
A B,
x x x
x x , x 0; f x D x0

8. Свойства дифференцируемых функций

Доказательство.
f x D x0 ,
U x0 :
f x0 A x x , A R; x x , x 0
f x0 f x f x0 ,
x x x 0
f x f x0 A x x ,
f x f x0 A x x ,
lim f x lim f x0 A x x lim f x0 A x x f x0
x x0
x x0
x 0

9.

Дифференцируемость функции в точке
x , x 0;
f x x
x , x 0.
x 0
f 0
f x f 0
x
lim
lim
lim
lim 1,
x 0 0 x
x 0 0
x 0 0 x 0
x 0 0 x
x 0
x 0
f 0
f x f 0
x
lim
lim
lim
1,
x 0 0 x
x 0 0
x 0 0 x 0
x 0 0 x
x 0
lim
f ' 0 1,
f ' 0 1,
f ' 0 f ' 0 .
lim f x lim x 0 0 f 0 ,
x 0
x 0
f x D 0
f x С 0

10. Правила вычисления производных

11. Правила вычисления производных

1) x f x g x
Доказательство.
x0 f x g x f x0 g x0 f x f x0 g x g x0
x0 f x0 g x0 ,
.
x0 f x0 g x0
, х 0,
x
x
x
Δf x0
lim
f x0 ,
Δx 0 Δx
f x
D x0
g x
D x0 lim
Δg x0
g x0 ,
Δx 0 Δx
x0
lim
f x0 g x0 ,
x 0 x
x0 f x0 g x0 ,
x D x0

12.

3)
x f x g x .
x0 x x0 f x g x f x0 g x0
f x g x f x0 g x f x0 g x f x0 g x0
g x f x f x0 f x0 g x g x0
x0 g x f x0 f x0 g x0
x0
f x0
g x0
g x
f x0
, x 0,
x
x
x
Δf x0
f x0 ,
Δx 0 Δx
f x D x0 lim
Δg x0
g x0 ,
Δx 0 Δx
g x D x0 lim
g x D x0 g x C x0 lim g x lim g x g x0
x 0
x x0
x0
lim
g x0 f x0 f x0 g x0 ,
x 0 x
x0 f x0 g x0 g x0 f x0 ,
x D x0

13. Правила вычисления производных

f x0 f x f x0 C C 0, U x0 ,
f x0
0
lim
0.
x 0
x 0 x
x
lim

14. Правила вычисления производных

Доказательство.
F x0 F x F x0 g f x g f x0 g f x g f x0 f x f x0
x
x x0
x x0
f x f x0
x x0
f x D x0 lim
x x0
f x f x0
f x0
x x0
f x D x0 f x C x0 lim f x f x0 y0
x x0
g y D y0 lim
x x0
g f x g f x0
g y g y0
y f x lim
g y0
y y0
f x f x0
y y0
F x0
F x F x0
lim
g y0 f x0
x 0 x
x x0
x x0
lim
F x0 g y0 f x0 ,
F x g f x D x0

15. Правила вычисления производных

Доказательство .
Доказательство.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. В 2-томах. Т.1.
f 1 y0 f 1 y f 1 y0
x x0
1
y
y y0
f x f x0 f x f x0
f 1 y0
f 1 y f 1 y0
1
1
lim
lim
lim
y 0
y y0
x x0 f x f x0
y
y y0
f x0
x x0
x x0
f 1 y0
1
f x0
x f 1 y D y0

16. Правила вычисления производных

17.

Правила вычисления производных

18. Таблица производных

19.

Таблица производных
Вывод формул 1) – 17) повторить самостоятельно.

20.

Производные высших порядков. Формула Тейлора

21.

Производные высших порядков. Формула Тейлора

22.

Производные высших порядков. Формула Тейлора

23.

Производные высших порядков. Формула Тейлора

24.

Производные высших порядков. Формула Тейлора
f x Tn 1 x Rn x
f x0
f 2 x0
f n 1 x0
2
x x0
x x0 ...
x x0 n 1
f x f x0
n 1 !
1!
2!

25. Список использованных источников

1 http://foxford.ru/wiki/matematika/grafik-funktsii-y-x
English     Русский Rules