Similar presentations:
Производная и дифференцируемость функции
1.
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждениевысшего образования
«Оренбургский государственный университет»
Кафедра прикладной математики
И.Г. Руцкова
Электронный курс лекций «Математический анализ»,
часть 8
Оренбург 2017
2.
Производная: основные понятия и определенияlim x lim x x0 0
x x0
x x0
3.
Производная: основные понятия и определения4.
Производная: основные понятия и определения5.
Производная: основные понятия и определения6.
Дифференцируемость функции в точке7. Свойства дифференцируемых функций
U x 0 :f x0 A x x , A R; x x , x 0
Доказательство.
1)
f x D x0
f x0
x
f x0
A
, x 0; lim
A, A R ;
x
x
x 0 x
2) f x0 B , B R
U x 0
f x0
B x , x 0;
x
f x0
B;
x 0 x
lim
f x0 B x x x , x 0
U x0 : f x0 B x x x.
x
x x
lim
lim x 0,
x 0 x
x 0
x 0
x
lim
f x0 A
A B,
x x x
x x , x 0; f x D x0
8. Свойства дифференцируемых функций
Доказательство.f x D x0 ,
U x0 :
f x0 A x x , A R; x x , x 0
f x0 f x f x0 ,
x x x 0
f x f x0 A x x ,
f x f x0 A x x ,
lim f x lim f x0 A x x lim f x0 A x x f x0
x x0
x x0
x 0
9.
Дифференцируемость функции в точкеx , x 0;
f x x
x , x 0.
x 0
f 0
f x f 0
x
lim
lim
lim
lim 1,
x 0 0 x
x 0 0
x 0 0 x 0
x 0 0 x
x 0
x 0
f 0
f x f 0
x
lim
lim
lim
1,
x 0 0 x
x 0 0
x 0 0 x 0
x 0 0 x
x 0
lim
f ' 0 1,
f ' 0 1,
f ' 0 f ' 0 .
lim f x lim x 0 0 f 0 ,
x 0
x 0
f x D 0
f x С 0
10. Правила вычисления производных
11. Правила вычисления производных
1) x f x g xДоказательство.
x0 f x g x f x0 g x0 f x f x0 g x g x0
x0 f x0 g x0 ,
.
x0 f x0 g x0
, х 0,
x
x
x
Δf x0
lim
f x0 ,
Δx 0 Δx
f x
D x0
g x
D x0 lim
Δg x0
g x0 ,
Δx 0 Δx
x0
lim
f x0 g x0 ,
x 0 x
x0 f x0 g x0 ,
x D x0
12.
3)x f x g x .
x0 x x0 f x g x f x0 g x0
f x g x f x0 g x f x0 g x f x0 g x0
g x f x f x0 f x0 g x g x0
x0 g x f x0 f x0 g x0
x0
f x0
g x0
g x
f x0
, x 0,
x
x
x
Δf x0
f x0 ,
Δx 0 Δx
f x D x0 lim
Δg x0
g x0 ,
Δx 0 Δx
g x D x0 lim
g x D x0 g x C x0 lim g x lim g x g x0
x 0
x x0
x0
lim
g x0 f x0 f x0 g x0 ,
x 0 x
x0 f x0 g x0 g x0 f x0 ,
x D x0
13. Правила вычисления производных
f x0 f x f x0 C C 0, U x0 ,f x0
0
lim
0.
x 0
x 0 x
x
lim
14. Правила вычисления производных
Доказательство.F x0 F x F x0 g f x g f x0 g f x g f x0 f x f x0
x
x x0
x x0
f x f x0
x x0
f x D x0 lim
x x0
f x f x0
f x0
x x0
f x D x0 f x C x0 lim f x f x0 y0
x x0
g y D y0 lim
x x0
g f x g f x0
g y g y0
y f x lim
g y0
y y0
f x f x0
y y0
F x0
F x F x0
lim
g y0 f x0
x 0 x
x x0
x x0
lim
F x0 g y0 f x0 ,
F x g f x D x0
15. Правила вычисления производных
Доказательство .Доказательство.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. В 2-томах. Т.1.
f 1 y0 f 1 y f 1 y0
x x0
1
y
y y0
f x f x0 f x f x0
f 1 y0
f 1 y f 1 y0
1
1
lim
lim
lim
y 0
y y0
x x0 f x f x0
y
y y0
f x0
x x0
x x0
f 1 y0
1
f x0
x f 1 y D y0
16. Правила вычисления производных
17.
Правила вычисления производных18. Таблица производных
19.
Таблица производныхВывод формул 1) – 17) повторить самостоятельно.
20.
Производные высших порядков. Формула Тейлора21.
Производные высших порядков. Формула Тейлора22.
Производные высших порядков. Формула Тейлора23.
Производные высших порядков. Формула Тейлора24.
Производные высших порядков. Формула Тейлораf x Tn 1 x Rn x
f x0
f 2 x0
f n 1 x0
2
x x0
x x0 ...
x x0 n 1
f x f x0
n 1 !
1!
2!