О ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
О ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
О ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
О ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
О ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Формулы приближённой оценки погрешностей
Правила оценивания погрешностей
О ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Статистический и технический подходы к учёту погрешности действий
ПРЯМЫЕ И ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ
Метод Гаусса
Итерационные методы
Итерационные методы
Методы решения систем нелинейных уравнений
Методы решения систем нелинейных уравнений
Методы решения систем нелинейных уравнений
Методы решения систем нелинейных уравнений
Интерполяция
Интерполяция
Интерполяция
774.00K
Category: mathematicsmathematics

Погрешности приближённых вычислений. (Лекции 1-2)

1.

Лекция 1. О ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЁННЫХ
ВЫЧИСЛЕНИЙ
Погрешность задачи
неустранимая (безусловная)
Погрешность метода
связана со способом решения задачи
(относится к устранимой или условной)
Погрешность округлений
в вычислительном эксперименте всегда
используются числа с определённой
точностью
1

2. О ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Значащими называются все цифры в
записи числа, кроме нулей перед
отличающейся от нуля цифрой.
Примеры:
число 284 - три,
число 0,34 – две,
число 0,005706 – четыре значащие
цифры
2

3. О ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Правила округления:
1. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов меньше пяти, то
оставшиеся цифры не изменяются.
Например, 0,51328≈ 0,5; 0,51328≈ 0,51; 0,51328≈ 0,513.
2. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов больше или равно
пяти, причем все последующие цифры больше нуля, то цифра
младшего из сохраняемых разрядов увеличивается на единицу.
Например, 0,57862≈0,6; 0,57862≈0,58; 0,57862≈0,579;
0,58652≈0,6 ; 0,58652≈0,587.
3. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов равна пяти, и
хотя бы две из последующих за ней цифры равны нулю или
неизвестны, то цифра младшего из сохраняемых разрядов не
изменяется, если она чётная, и увеличивается на единицу, если она
нечётная.
3
Например, 0,285004≈0,28; 0,355002≈0,36.

4. О ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Погрешность метода подчиняют погрешности
задачи
Погрешность округлений должна подчиняться
погрешности метода
Вычислять следует с числом значащих цифр, на
единицу превышающих их число в исходных
данных, с тем, чтобы относительная
погрешность результата вычислений была бы на
порядок (в 10 раз) меньше погрешности исходных
данных.
4

5. О ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

5

6. О ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

6

7. Формулы приближённой оценки погрешностей

7

8. Правила оценивания погрешностей

8

9. О ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

n
x1 x2
1
x1
u x1 x2 ... xn ; u xi xi ; u ; u
x1 x2
x2
x1
x2
i 1 xi
i 1
n
x x ... x
1
2
n
x1 x2 ,,, xn
x1 x2 ... xn
x1 x2 ... xn
x1 x2 ... xn
x1 x2 ... xn
x1 x2 ... xn
x x
1
2
x1 x1 x2 x2 ... xn
x1 x2 ... xn
x1 x2
x1 x2
;
x1 x2
x1 x2
x1 x2 ... xn
,
x1 x2 ... xn
x1 x2 0 x x
1
обратная задача теории погрешностей
y
f x
2
max x
i
xi f u xi f1 u
1) принцип равных влияний
u
u
u n
xi xi
xi
u
n
xi
2) равенство относительных погрешностей всех аргументов
n
xi
u
9
xi
p xi p xi u p
xi
xi
i 1 xi
y f x y dy f x x x

10. Статистический и технический подходы к учёту погрешности действий

n 10
все слагаемые округлены до m-го десятичного разряда
правило Чеботарёва
S 3n 0,5 10 m
n
n
1
1
1
m
Пример x
x
;
0,5
x
n 0,5 10 m 0,5 10 m xi ;
i
xi
x
xi
n i 1
n i 1
n
xi
1
3
3
3n 0,5 10 m
0,5 10 m
xi
n
n
n
n
0
Принцип А.Н.Крылова:
приближённое число должно записываться так, чтобы в нём все значащие
цифры, кроме последней были верны и лишь последняя была бы
сомнительна, и притом в среднем не более чем на одну единицу
10

11. ПРЯМЫЕ И ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ

a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 ,
a x a x ... a x b ,
21 1 22 2
2n n
2
........................... .. ..
an1 x1 an 2 x2 ... ann xn bn ,
Ax b, A ai , j , b b1 , b2 ,..., bn , x x1 , x2 ,..., xn
T
T
формула Крамера
xi
Метод Гаусса
det Ai
,
det A
i 1,2,..., n; n ;
x A 1b
a11 x1 a12 x2 a13 x3 ... a1n xn b1 ,
a22
x2 a23
x3 ... a2 n xn b2 ,
1
1
1
1
...............................
an 2 x2 an 3 x3 ... ann
xn bn , aij aij
1
1
1
1
1
ai1
a
1
a1 j ; bi bi i1 b1 , i, j 2,3,..., n; n
a11
a11
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 ,
1
1
1
k 1
k 1
a22
x2 ... a2 n xn b2 ,
a
a
k
k 1
k 1
k
k 1
k 1
aij aij ik k 1 akj , bi bi ik k 1 bk
....................
akk
akk
n 1
n 1
11
a
x
b
.
nn
n
n

12. Метод Гаусса

обратный ход метода Гаусса
bn
xn n 1 ;
ann
n 1
.............
b2 a23
x3 ... a2 n xn
x2
;
1
a22
1
x1
1
1
1 k 1
xk k 1 bk
akk
n
j k 1
akj
k 1
xj
b1 a12 x2 ... a1n xn
.
a11
a11 a12 ... a1n
det A
1
0 a22
... a2 1n
..............
1
n 1
a11 a22
a ... ann
n 1
0 0 ...ann
определитель матрицы равен произведению всех так называемых
ведущих элементов при её преобразовании методом Гаусса.
12

13. Итерационные методы

Метод простых итераций
Ax b x Bx c
x k 1 Bx k c, k 0,1, 2, ....
x
0
x1 , ..., xn
0
0
T
метод простой итерации
Необходимое и достаточное условие сходимости
1
eii 1, i 1,2 ,...,n
det B E 0, E
eii 0, i j, i,j 1,2,..., n
13

14. Итерационные методы

Метод Якоби
Ax b A L D R Lx Dx Rx b
x D
1
L R x D 1b
x Bx c; B D 1 L R , c D 1b
x k 1 D 1 L R x k D 1b , k 0,1, 2,...
D aii ,
14

15. Методы решения систем нелинейных уравнений

f1 x1 , x2 ,..., xn 0,
f1 x f1 x1 , x2 ,..., xn
x1
0
0
x
f
x
f
x
,
x
,...,
x
f 2 x1 , x2 ,..., xn 0,
2
2
2
1
2
n
(20) x , F x
, 0 F x 0.
...
...
......
................
....................
f x , x ,..., x 0,
x
0
n
n
f n x f n x1 , x2 ,..., xn
n 1 2
x1 1 x1 , x2 ,..., xn ,
1 x 1 x1 , x2 ,..., xn
x2 2 x1 , x2 ,..., xn ,
2 x 2 x1 , x2 ,..., xn
(21) x x , x
......
................
.....................
x x , x ,..., x ,
x x , x ,..., x
n
n
1
2
n
n
n
n 1 2
Метод простых итераций
x
k 1
,
x
k
k 0,1,2,...x
0
0
0
x1 ,..., xn
T
15

16. Методы решения систем нелинейных уравнений

Метод покоординатных итераций (метод Зейделя)
x1 k 1 1 x1 k , x2 k ,..., xn k 1 , xn k ,
k 1
k 1 k
k k
x2 2 x1 , x2 ,..., xn 1 , xn ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x k 1 x k 1 , x k 1 ,..., x k 1 , x k .
n
1
2
n 1
n
n
(20) (21) AF x 0 x x x AF x
A ? x x AF x
x x Ak F x , k 0,1,2,... x
Простые итерации
k 1
,
x A k F x
k
k
k 0,1,2,... (23)
x k x x Ak F x
16

17. Методы решения систем нелинейных уравнений

Метод Ньютона
A k F x
k
f1
f1 f1
...
x x
xn
1
2
f 2 f 2
f 2
1
...
, F x J x x1 x2
xn
.................
f
f
f
n n ... n
x x
xn
2
1
Явная формула Ньютона
A k (23) x
F x
x
k 1
k
x
k 1
x
x p
k
k
k
k 1
x
k
F x
k
F x k
F x , F x p F x ,
F x F x x x 0
k
k
k
k
k
1
k
p
k
k
k
k
p1 , p2 ,..., pn
T
k
17

18. Методы решения систем нелинейных уравнений

модифицированному метода Ньютона
x
k 1
x
k
F x
0
F x
1
k
модифицированный метод Ньютона даёт двухступенчатый процесс
z k x k A k F x k ,
1
k k
Ak J x , h
k 1
k
k
z Ak F z ,
x
h j x j
k
k 1
x j ,
k 1
x , x
0
x B x , x
k
x
k
1
k
k
J x , h k F x
j 1,..., n, k 1,2,...
k
двухшаговый метод
x
x
k 1
k
k 1
F x , B x , h
1
k
k
k 1
fi x1 ,..., x j
k
k 1
,..., xn
k
x j
f x ,..., x ,..., x
k 1
k
i
x j
1
k
j
k
n
k
1
18

19. Интерполяция

Полиномиальная интерполяция. Интерполяционный многочлен Лагранжа
a, b x0 , x1,..., xn
a x0 ... xn b
y f x
x x1 x2 ... xn
y y1 y2 ... yn
x0 , x1 ,..., xn
x
y f x
называется интерполирующей или интерполяционной для функции
узлы интерполяции
Pn xi yi
x y x
i 0,1,..., n ; Pn x a0 a1 x a2 x 2 ... an x n
a0 a1 x0 a2 x02 ... an x0n y0 ,
2
n
a0 a1 x1 a2 x1 ... an x1 y1 ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a a x a x 2 ... a x n y .
2 n
n n
n
0 1 n
19

20. Интерполяция

базисные многочлены Лагранжа
n
c l x ,
i 0
i i
li x , i 0,1,..., n
0, åñëè j i
li x j ij
... j , i 0,1,..., n
1, åñëè j i
x x0 x x1 ... x xi 1 x xi 1 ... x xn
li x
,
x
x
x
x
...
x
x
x
x
...
x
x
i 0 i 1 i i 1 i i 1 i n
li x
x x x x
n
j 0, j i
j
i
j
x x0 x x1 ... x xi 1 x xi 1 ... x xn
Ln x
yi ;
x
x
x
x
...
x
x
x
x
...
x
x
i 0 i
0 i
1 i
i 1 i
i 1 i
n
n
n
Ln x x x j
i 0
j 0, j i
n
x
x
i j
20

21. Интерполяция

базисные многочлены Лагранжа
n 1, l0 x
x x0
x x0
x x1
x x1
, l1 x
, L1 x
y0
y1
x0 x1
x1 x0
x0 x1
x1 x0
x x1 x x2
x x0 x x2
x x0 x x1
, l1 x
, l2 x
x0 x1 x0 x2
x1 x0 x1 x2
x2 x0 x2 x1
x x1 x x2
x x0 x x2
x x0 x x1
L2 x
y0
y1
y2
x0 x1 x0 x2
x1 x0 x1 x2
x2 x0 x2 x1
n 2, l0 x
f x L1 x
f x L2 x
формулами линейной интерполяции
формулами квадратичной интерполяции
21
English     Русский Rules