Визначення випадкової величини
Дискретна випадкова величина та способи її задання
Дискретна випадкова величина та способи її задання
Числові характеристики дискретної випадкової величини
Основні закони розподілу дискретних випадкових величин
Основні закони розподілу дискретних випадкових величин
Основні закони розподілу дискретних випадкових величин
Неперервна випадкова величина. Способи її задання
Неперервна випадкова величина
Числові характеристики неперервної випадкової величини
Основні закони розподілу неперервних випадкових величин
Основні закони розподілу неперервних випадкових величин
Основні закони розподілу неперервних випадкових величин
Стандартна функція Лапласа
Основні закони розподілу неперервних випадкових величин 3. Нормальний розподіл
ДЯКУЮ ЗА УВАГУ!
241.50K
Category: mathematicsmathematics

Випадкові величини. Визначення випадкової величини (лекція 6)

1.

ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ
Лекція 6

2. Визначення випадкової величини

• Випадкова величина – це величина, що
приймає в результаті випробування одне
з можливих значень, при цьому поява
того чи іншого значення є випадковою
подією.
• Розрізняють дискретні та неперервні
випадкові величини.

3. Дискретна випадкова величина та способи її задання

Дискретною випадковою величиною
називається випадкова величина з кінцевою
кількістю можливих значень.
• Для визначення дискретної випадкової величини
задають закон її розподілу (чи ряд розподілу),
тобто всі можливі значення випадкової
величини та відповідні їм ймовірності:

4. Дискретна випадкова величина та способи її задання

• Події, що полягають в тому, що з'явиться одне з
можливих значень випадкової величини, є несумісними й
утворюють повну групу подій. Сума ймовірностей повної
групи подій дорівнює одиниці:
Pi
n
Pi x 1
P3
P4
i 1
P2
P1
P5
P6
xi
0
x1 x2
x3
x4
x5
x6
Графічне зображення дискретної випадкової величини у вигляді
многокутника розподілу.

5. Числові характеристики дискретної випадкової величини

• Математичне сподівання
n
( X ) xi pi x1 p1 ... xn pn
i 1
• Дисперсія
D( X ) ( X ) ( ( X ))
2
, де ( X 2 ) xi2 Pi
n
2
• Середнє квадратичне відхилення
( X ) D( X )
i 1

6. Основні закони розподілу дискретних випадкових величин

• Формула Бернуллі:
Pn x
Cnx p x q n x
n!
p x q n x
x! n x !
P А p , P А q
• Сукупність отриманих ймовірностей Рn(0),
Рn(1), Рn(2), …,Рn(n) являє собою біномний
розподіл.

7. Основні закони розподілу дискретних випадкових величин

• Формулу Муавра-Лапласа використовують для
схеми Бернуллі, коли n 10 p 0,1
Ймовірності визначають за формулами:
а)
Pn ( X x)
1
e
2 npq
1 x np
2 npq
2
- локальна формула Лапласа;2
б) P ( x X x ) 1
n
1
2
2
z2 z
e 2
z1
x 2 np
x1 np
dz (
) (
)
npq
npq
- інтегральна формула Лапласа, де Ф(z)- інтегральна
функція Лапласа

8. Основні закони розподілу дискретних випадкових величин

• За тих же умов, але коли n 10
застосовують формулу Пуассона:
де np
Pn x
p 0,1
і
x
x!
• При цьому:
X D X ;
e
,

9. Неперервна випадкова величина. Способи її задання

• Неперервною випадковою величиною називається
випадкова величина, що може приймати будь-які
значення з деякого інтервалу (на якому вона існує).
• Інтегральна функція розподілу неперервної
x
випадкової величини:
F ( x) P( X x)
f ( x)dx
• Диференціальна функція розподілу неперервної
випадкової величини (функція щільності розподілу):
dP
f ( x)
F ( x)
dx

10. Неперервна випадкова величина

f(x)
Неперервна випадкова величина
x2
x1
0
x
Графічне задання неперервної випадкової
величини у вигляді функції розподілу щільності
ймовірностей.
F(x)
f ( x)dx 1
1
0
Умова нормування для
неперервної
випадкової величини :
1
2
3
4
5
x
Графічне зображення інтегральної функції розподілу
випадкової величини.

11. Числові характеристики неперервної випадкової величини

( X )
• Математичне сподівання:
x2
x f ( x )dx
x1
D( X ) ( X 2 ) ( ( X )) 2
• Дисперсія :
де
x2
( X 2 ) x 2 f ( x )dx
x1
• Середнє квадратичне відхилення :
( X ) D( X )
• Ймовірність попадання у проміжок :
P( x1 X x 2 )
x2
f ( x)dx F ( x2 ) F ( x1 )
x1

12. Основні закони розподілу неперервних випадкових величин

• 1. Рівномірний розподіл:
Диференціальна функція розподілу -
x a;
0,
1
f ( x)
, a x b;
b a
x b.
0,
Інтегральна функція розподілу -
x a;
0,
x a
F ( x)
, a x b;
b a
x b.
1,

13. Основні закони розподілу неперервних випадкових величин

• 2. Показниковий (експонентний)
розподіл неперервної випадкової величини з
параметром .
Диференціальна функція розподілу -
Інтегральна функція розподілу -
x 0;
0,
f ( x ) x
e , x 0.
x 0;
0,
F ( x) x
1 e , x 0.

14. Основні закони розподілу неперервних випадкових величин

• 3. Нормальний розподіл:
1
Диференціальна функція розподілу – f ( x )
e
2
f(x)
1
2
2
+ +2
+
x
Графік нормального розподілу випадкової величини.
( x )2
2 2

15. Стандартна функція Лапласа

• Якщо в функції Гаусса взяти 0 і 1 , то
отримаємо нормовану або стандартну функцію
(диференціальну функцію ).
( z)
1
e
2
z2
2

16. Основні закони розподілу неперервних випадкових величин 3. Нормальний розподіл

• Ймовірність попадання нормально розподіленої
випадкової величини на інтервал визначається за
формулою:
x2
x1
P( x X x )
1
1
2
z
2
z2
e 2 dz
де
- інтегральна функція Лапласа,
її значення знаходяться за таблицею.
( z )
• Правило трьох сигм: якщо випадкова величина
нормально розподілена, то майже достовірно, тобто з
імовірністю, близької до одиниці , ії значення лежать
на проміжку [ .

17. ДЯКУЮ ЗА УВАГУ!

English     Русский Rules